| 研究課題/領域番号 |
20K03580
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
森吉 仁志 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00239708)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 指数定理 / 非可換幾何 / 葉層多様体 / 微分同相群 / K理論 / 巡回コホモロジー / 等質中心アファイン曲線 / Alexander-Spanierコホモロジー / Alexander-Spanier コホモロジー / 葉層構造 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」と「微分同相群の不変量が関与する指数定理の展開」を主要目標に掲げ，以下のような状況において指数定理を導出する：
① 葉層多様体あるいは微分同相群の離散部分群作用があるとき，K 群と巡回コホモロジー群のペアリングを用いて，葉層特性類や微分同相群の不変量が関与する指数定理を記述する；
② 上記ペアリングを相対K 群と相対巡回コホモロジー群へ拡張して新たな指数定理を導く；
③ 一般の葉層束における族指数の二次特性類と葉層特性類あるいは微分同相群の不変量との関連を解明する．
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| 研究成果の概要 |
「非可換幾何学の枠組による指数定理の拡張」と「微分同相群の不変量が関与する指数定理の展開」という方針の下に，多様体とは限らない離散的集合上での指数定理の展開や，カントール集合などのフラクタル集合をコロナ空間に持つような完備リーマン多様体上への指数定理の拡張を行った．加えて，葉層二次特性類の一つである Bott-Virasoro 類と等積中心アファイン平面曲線全体のなす空間との関係を精査し，漸近的等質中心アファイン平面曲線に関連して現れるソリトン数と半整数回転数を結びつける指数定理を確立した．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
離散化された対象とは，現実の社会では最初に現れる研究客体である．そのような対象では具体的計算やPCを用いたシミュレーションなどによる細かい研究が可能であり，従って研究の応用範囲も広い．本研究では，現代数学の精華の一つと認められる指数定理を離散化することを目標とした．そして研究成果の一つとして，物理学の格子ゲージ理論で研究されている Ginsparg-Wilson 作用素に対する指数定理の定式化や，フラクタル集合をコロナ空間とする完備リーマン多様体への指数定理の拡張に成功した．
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