| 研究開始時の研究の概要 |
トーリック多様体は具体的な代数多様体の例を豊富に与え, 有理扇や格子凸多面体との対応を通じて組合せ論, 代数幾何学, 複素幾何学, シンプレクティック幾何学, トポロジーなど, 複数の分野に跨ってトーリック幾何学は発展してきた. 本研究では, トーリック幾何学では扱わない「葉層構造の入った複素多様体で, 良いトーラス作用を持つもの」を主たる研究対象として, 「横断トーリック幾何学」の展開, 発展と他分野への応用を目指す.
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| 研究実績の概要 |
(1)偶数次元コンパクトリー群には左不変な複素構造が存在することは古くから知られおり, さらに2000年代になって左不変でない複素構造の構成が発見されている. 本研究課題では糟谷久矢氏との共同研究で, モーメント写像と葉層構造の手法を利用してSU(3)上の複素構造の研究を継続して行なっている. 昨年度までに一定の結果が得られて論文に纏めていたが, 今年度の成果としてより明瞭な証明, 議論を得た. そのために論文の大幅な加筆修正を行なった.
(2)トーリック多様体の微分同相型の分類問題は, トーリック幾何, トーリックトポロジーにおける懸案となっている. 特にBott多様体と呼ばれるものに対して「2つのBott多様体の整‘係数コホモロジー環の間の同型写像は, 微分同相写像から誘導される」かどうかが問われている(Bott多様体の強コホモロジー剛性問題). Bott多様体は複素射影直線束を繰り返して得られる多様体であり, 6次元以下の場合は強コホモロジー剛性が成立することが知られていた. 4次元以上のBott多様体はその構成方法から, 自然にHirzebruch曲面束の構造を持つが, 今年度はBott多様体の構成から自然に得られるHirzebruch曲面束の「強コホモロジー剛性」を示し, さらにその系として8次元のBott多様体の強コホモロジー剛性が成立することを示した. この結果は論文に纏め, 当該年度中に出版された. またこの結果を用いてChoi, Hwang, Jangたちはさらなる結果を得たようである.
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