研究課題/領域番号 |
20K03593
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研究種目 |
基盤研究(C)
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配分区分 | 基金 |
応募区分 | 一般 |
審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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研究機関 | 学習院大学 |
研究代表者 |
細野 忍 学習院大学, 理学部, 教授 (60212198)
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研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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キーワード | カラビ・ヤウ多様体 / ミラー対称性 / 複素多様体 / モジュライ空間 / 周期積分 / グロモフ・ウィッテン不変量 / 多変数超幾何微分方程式 / 多変数微分方程式 / アーベル多様体 |
研究開始時の研究の概要 |
1990年代に理論物理学の研究から発見されたカラビ・ヤウ多様体のミラー対称性は,複素多様体の研究に大きな成果をもたらしている.その一方で,ミラー対称性に潜む数理の解明は幾何学における大きな未解決問題となっている.本研究では,”特色のある”カラビ・ヤウ多様体とそれにミラー対称なカラビ・ヤウ多様体の族を見つけ出し,それらの変形空間の大域的な構造の解析を行うことによって,ミラー対称性の幾何学の解明に向けた着実な研究の蓄積を行う.
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研究実績の概要 |
(1,8)型の偏極アーベル曲面をファイバー空間とするカラビ・ヤウ多様体について,継続して研究を行った.今年度は,いくつかの国内外の研究集会で研究成果を整理して発表する機会があり,多数の研究者とともに有益な議論をすることが出来た.議論を通して,着目しているカラビ・ヤウ多様体には,ミラー対称性に関わる諸性質のほとんどすべてが登場していることを改めて認識するに至った.特に,このカラビ・ヤウ多様体の周期領域はアーベル多様体のモジュライ空間と深く関わっていることが強く示唆されていて,その様子が解明できれば,高次元カラビ・ヤウ多様体の周期領域の解明に向けて大きな手がかりとなるとの予想に至った.予想の検証に向けて,グロモフ・ウィッテン不変量の母関数に現れる楕円モジュラー関数が大きな手がかりとなると思われ,高次種数のグロモフ・ウィッテン不変量の計算の準備を開始した.高次種数のグロモフ・ウィッテン不変量の生成母関数を計算するに当たっては,正則アノマリー方程式の構造解明が不可欠である.そこでその方程式の構造解明のための1ステップとして,正則アノマリー方程式をK3曲面の場合に当てはめて得られるBCOV公式に焦点を当てて,この公式を格子偏極K3曲面について具体的に計算して決定することを行った.その結果,偏極が階数19のK3曲面の場合にBCOV公式から,イェータ関数の積で表される特徴的な上半平面の尖点形式が得られることが判明した.さらに,結果として現れる尖点形式が3次の微分方程式と密接に関係することが見つかった.加えて多変数のモジュラー形式が現れる例として,階数17のK3曲面の1例を詳しく調べ,この場合にBCOV公式から井草の尖点形式と呼ばれる種数2のジーゲルモジュラー形式が現れることを示した.これらの結果は,3次元カラビ・ヤウ多様体のBCOV公式の数学的な理解に向けた研究の手がかりになるものである.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
アーベル曲面をファイバー空間にもつカラビ・ヤウ多様体が,予想以上に興味深い多様体であることが判明しつつある。今後さらに,1つ1つ状況証拠を積み上げる作業が必要であるが,具体的な計算に必要な計算手法とともに作業は着実に進んでいる.
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今後の研究の推進方策 |
アーベル曲面をファイバー空間にもつカラビ・ヤウ多様体について,高次種数のグロモフ・ウィッテン不変量を正則アノマリー方程式を具体的に解いて決定する.また,研究計画最後の年度として,期間中に得られた結果に理論的な解釈を与え,さらなる発展に向けて着実な蓄積として残るように整理総括を行う.
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