| 研究課題/領域番号 |
20K03604
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 茨城工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
伊藤 昇 茨城工業高等専門学校, 国際創造工学科, 講師 (10580160)
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| 研究分担者 |
初田 真知子 順天堂大学, 保健医療学部, 教授 (10364887)
吉田 純 国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 研究員 (20884662)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | DG圏 / MOYグラフ / カテゴリフィケーション / 有限型不変量 / リンクホモロジー / categorification / Khovanov homology / Vassiliev invariant / Jones polynomial / TQFT / wall-crossing / カテゴリ フィケーション / Vassiliev理論 / Khovanov 理論 / refined Chern-Simons理論 / 量子不変量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究はバシリエフ不変量を圏論化（カテゴリフィケーション）し, それを応用することが目的です．ジョーンズ多項式の圏論化はホバノフ ホモロジー Kh(K) ですが，このホバノフホモロジーを一般化することでバシリエフ不変量の構造をホバノフホモロジーに導入します．そのことで，バシリエフ不変量が持つ有用な性質を圏論的な立場で強化し, 応用可能なものにします．
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| 研究実績の概要 |
令和４年度は40回程度の勉強会を行った（分担者の吉田純（理研）および中兼啓太（ウプサラ大学））．主な成果として
(1) DG圏におけるリンクホモロジーの構成，(2) MOYグラフのカテゴリフィケーション
が挙げられる．(1)も(2)も現在のリンクホモロジーの精密化・一般化をしていく装置である．例えばホバノフ・ローザンスキーホモロジーは現時点で導来圏においてのみwell-definedであるような構成しかなされていないが，(1)の成果によりDG圏におけるオペレーションを伴うリンクホモロジーに一般化される．また，ホバノフ・ローザンスキーホモロジーは従来，不変性を与える証明が複雑だったため，幾何的な操作に対する分析に対する障壁があったのだが，(2)により，ポイントとなるいくつかの局所変形に対する明解な同型が得られた．上記の考察で，DG圏でRasmussenによるホンフリーホモロジーとsl_n-ホモロジーを繋ぐスペクトル系列がより精密に理解された，また上記の方法で複数の表現のカテゴリフィケーションを統一的に観察することで，バシリエフ不変量の圏論化をなす理論整備を進めている．
(3) またMOYグラフの研究として gl(1|1)-Alexander多項式で３次元多様体の不変量を直接取り出す方法を新たに与え（鮑園園（東京大学）との共同研究），バシリエフ不変量とミルナー不変量の研究として多成分のガウス図式についての研究（カモンパット インタウォン（茨城高専）との共同研究），ジョーンズ多項式の係数に関するものとしてクロスキャップ数の計算自動化の研究（山田海音（茨城高専）との共同研究）を行った．また圏論化とバシリエフ不変量に関する亀山昌也（名古屋大, 当時）との共同研究を論文として出版した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本来の計画ではsl_nの場合においても，ウェイトシステムを成立させる関係式を得る予定であったが，手探りで成り立ってほしい同型を一つずつ示し，sl_nにおける種数1射を見つけるための状況証拠を集めきるまでは予定よりも時間がかかった．この状況証拠はライデマイスター移動の不変性を見ることによってなされているが，先行研究の計算では，このような視点で研究されておらず，再証明が必要となるため，時間がかかっている．
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| 今後の研究の推進方策 |
DG圏おけるsl_n-リンクホモロジーでのライデマイスター移動の不変性を証明したあと，sl_2における交差交換に対応する射をsl_nにおいて発見し，sl_nにおけるウエイトシステムの関係式を得る．
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