研究開始時の研究の概要 |
トポロジカル絶縁体を始めとするトポロジカル相は, 昨今の物理学においては盛んに研究されているテーマである. トポロジカル相の分類には, 位相的K理論をはじめとする代数トポロジーの道具が使われる. そうした応用の中で, いくつもの数学的に解決すべき問題が見えてきた. そのうちに幾つかは, 例えば同変ねじれK理論のAtiyah-Hirzebruchスペクトル系列の始めの非自明な微分の特定など, 具体的である. こうした問題を, 解けるものを優先し, 必要ならば国内外の研究者と協力し, 順次解決していくことを計画している.
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研究実績の概要 |
Giuseppe De Nittis氏と共同で, 対合作用を持つ空間上のAtiyahの意味の``四元数''ベクトル束の特性類であるFKMM(古田-亀谷-松江-南)不変量について, Bredon同変コホモロジーの視点から研究し, 新たな知見を得た. すなわち, FKMM不変量は``四元数''ベクトル束の同型類のなす集合から, ある局所係数付き相対Borel同変コホモロジー群への写像として定義される. 主要な結果は, この写像は3次元以下の同変CW複体上で全射写像となることである. 鍵となったのは, FKMM不変量が住む局所係数付き相対Borel同変コホモロジー群が, Bredon同変コホモロジーとして解釈できるという事実である. 3次元以下の同変CW複体上では, FKMM不変量の写像としての単射性は既にこれまでの研究で示されており, 全射性は2次元以下の同変CW複体と, ある仮定を満たす3次元多様体でのみ, 幾何学的な手法によって示されていた. 今回の研究では, この全射性についての結果を, 新たな手法を用いて改善したことになる. また, これまでの研究で同変3次元CW複体上では, 全射性が成り立たない例があるという結果を得ていたが, これが間違いであることがわかった.
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