| 研究開始時の研究の概要 |
トポロジカル絶縁体を始めとするトポロジカル相は, 昨今の物理学においては盛んに研究されているテーマである. トポロジカル相の分類には, 位相的K理論をはじめとする代数トポロジーの道具が使われる. そうした応用の中で, いくつもの数学的に解決すべき問題が見えてきた. そのうちに幾つかは, 例えば同変ねじれK理論のAtiyah-Hirzebruchスペクトル系列の始めの非自明な微分の特定など, 具体的である. こうした問題を, 解けるものを優先し, 必要ならば国内外の研究者と協力し, 順次解決していくことを計画している.
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| 研究実績の概要 |
2023年度の研究では, AtiyahとHirzebruchによって与えられた複素K理論における古典的な(Grothendieck-)Riemann-Roch型公式(以下RR公式)を, KR理論に一般化することができた. 古典的なRR公式は, Spin^c構造が与えられた偶数次元閉多様体の複素K理論の元に対し, その押し出しとChern指標による像として得られる元を, もとの元のChern指標とSpin^c構造の特性類を用いて表示する. これを位数2の巡回群Z/2が作用する空間上で定義されるKR理論へと一般化するために, まずKahnによる``実''Chern類を用いて, KR理論に対して然るべきChern指標が定義できることを示した. 次に, Z/2同変実ベクトル束に対してSpin^c構造の一般化を調べた. 安直な一般化では, 条件が強すぎることが判明したため, 然るべき一般化として許容的なSpin^c構造の概念を導入した. その後, この概念を用いた仮定を満たす多様体のKR理論の元に対して, その元の押し出しとChern指標による像として得られる元を, もとの元のChern指標と許容的なSpin^c構造の特性類を用いて表示する公式として, KR理論におけるRR公式を得た. この公式は, 古典的なRR公式と完全に両立するために, 単独の使用では新たな整数性は得られない. しかしながら, Atiyahの意味の``実''ベクトル束についての情報を用いて, 古典的なRR公式から得られる整数の偶奇に制限がつく例を与えることができる. また仮定を少し変更して得られるRR公式を用いて, 古典的なRR公式で得られる整数が, ``実''ベクトル束に対しては偶数になる例を与えることができる.
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| 今後の研究の推進方策 |
想定外の業務へ想定以上のエフォートを振り分ける状況ではなくなったので, もとの計画に従って研究を推進する一方で, 関連するテーマにも積極的に取り組み, 見送っていた研究集会への参加や書籍の購入等により, 遅れを取り戻すべく務める.
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