| 研究課題/領域番号 |
20K03610
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
馬場 伸平 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (40822870)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | hyperbolic geometry / surface groups / Riemann surfaces / 曲面群の表現 / 双曲幾何学 / 指標多様体 / リーマン面 / homogeneous spaces / holonomy representations / projective structures / hyperbolic geomegry |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲面は実際に可視化しやすく直感的に考えやすい幾何学的対象である。また、その理解を発展させることで、一般な幾何学的対象の発展に欠かせない研究対象である。局所等質構造と呼ばれる、どの点の近くも同じに見える構造を考える。曲面のトポロジーと呼ばれる大まかな形を固定して、その幾何学的な構造の空間を考える。この変形空間はたびたび解析的な構造を持っている。一方、各々の幾何構造はモノドロミー表現と呼ばれる代数的な構造をもっている。これは曲面の基本群からLie郡との表現がある。これらの解析的な構造と代数的な構造の関係性を相互に発展させる研究をおこなう。
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| 研究実績の概要 |
大鹿健一氏との論文が学術雑誌I M R Nに掲載された。この論文で、私たちは曲面群を基本群とする３次元双曲多様体の凸包の境界の構造を考察した。この凸包の境界は、交わらない測地線に沿って折り曲った構造を持っている。この折り曲がりを表すbending laminationに関する考察を、多様体の構造が複雑あるgeometrically infiniteと呼ばれるものを含む、一般の双曲多様体について行った。
また別の私の単著論文の改訂を行い、この論文がより読みやすい形となった。
学術雑誌GAFAに掲載確定されその後掲載された。Bersの同時一位化定理は、Riemann面の一位化定理の拡張で、Riemann面の構造と３次元双曲多様体の構造の対応を与える重要な定理である。この論文の結果の系として、Bersの同時一位化定理の別証明を与えている。解析的な視点と代数的な視点の関係に新たな見方を与えたと言える。
曲面の基本群のBending変形に関するプレプリントを以前執筆したが、これの改訂を行った。これにより詳細がより明確になった。この論文では、曲面上のmeasured laminationを固定し、双曲曲面に対応するFuchs表現動かすことで、そのlaminationに沿って変形することで得られる表現全体を考えた。このような表現空間の部分集合の興味深い性質を与え、よく知られた別の部分集合との類似性を示した。
また、上記の結果について、いくつかの国際研究集会などで講演し、意見交換を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
行った研究が、良い学術論文として掲載された。プレプリントも改訂により、より明確な内容となった。これらの結果に関して今後の発展も見込まれる。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究のまとめ、講演などを行い新たな可能性を模索する。
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