| 研究課題/領域番号 |
20K03614
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022-2023)
大阪市立大学 (2020-2021) |
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研究代表者 |
作間 誠 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (30178602)
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| 研究分担者 |
古宇田 悠哉 慶應義塾大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (20525167)
秋吉 宏尚 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80397611)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | ２橋結び目 / 強可逆結び目 / 同変種数 / チェカーボード曲面 / 交代絡み目 / ２橋絡み目 / 放物的変換 / 非正曲率立方体分割 / ３次元双曲多様体 / 不変ザイフェルト曲面 / 同変ザイフェルト種数 / 交代結び目 / homotopy motion / Heegaard surface / mapping class group / Haken manifold / ３次元多様体 / クライン群 / 写像類群 / ヘガード分解 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，３次元多様体の幾何構造と組合せ構造（特にヘガード構造，ファイバー構造，標準的分割）の関係を解明し，それを通して「３次元多様体の空間」の構造への知見を得ることを目指す．曲面の自己同相写像が与えられたとき，「写像トーラス」を作れば円周上の曲面束が得られるのに対し，ある種の「写像シリンダー」を作れば，3 次元多様体のへガード分解が得られる．曲面束に対するJorgensen-Thurston 理論の類似（拡張）を3 次元多様体のへガード分解に対して確立し，その観点から３次元多様体の幾何構造，そして「３次元多様体の空間」を理解することが本研究の基本構想である．
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| 研究実績の概要 |
（１）２橋結び目が定める強可逆結び目の同変種数の完全決定：一昨年度に執筆し今年度に出版された論文（平澤美可三，日浦涼太との共著）において，２橋結び目が定める全てのマーク付き強可逆結び目に対して，同変種数（強可逆性を与える対合で不変なザイフェルト曲面でマークを含むものの最小種数）を決定できることをアナウンスしていた。今年度は，同変種数を実現する同変ザイフェルト曲面を視覚的に与える具体的方法を与え，上述の結果とともにプレプリントとして発表した。この論文は Michigan Mathematical Journal で受理された。
（２）双曲的交代結び目のチェッカーボード曲面を結び目補空間内の曲面とみなし，結び目補空間の普遍被覆空間における逆像を考えると，各連結成分は無限遠球面の上のジョルダン閉曲線を定める．一昨年度行った研究により，交代結び目補空間の非正曲率 cubing を用いることにより，それらのジョルダン閉曲線の交わりのパターンを組み合わせ的に記述する方法を与えていたが，そこに誤りがあることが判明した。今年度は，その誤りの修正行い，現在，論文を執筆中である。（坂井駿介との共同研究）
（３）2009年から継続していた異分野交流研究集会「Branched coverings, degenerations, and related topics」に組織委員として運営に携わっていたが，この研究集会は「Algebraic Geometry, Topology, Combinatorics and Related Topics」として発展的解消した。その研究集会の開催に Scientific committee として協力した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
強可逆結び目と交代結び目の研究においては進展を得られているがが，最大の目標である「橋構造の観点からの2橋結び目の空間」に関しては，東京工業大学において集中講義を行い若手研究者の関心を引くことはできたものの，十分な時間を割くことができずに進捗が遅れている。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまで十分に時間を取ることができなかった「橋構造の観点からの2橋結び目の空間」の研究に力を入れたい。また，1986年に発表した論文で導入した強可逆結び目の同変コボルディズム群が，最近国内外の若手研究者の関心を引いているので，これを機会に４次元トポロジーへの応用に目を向け，自分の世界を広げることも視野に入れたい。
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