| 研究課題/領域番号 |
20K03614
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022)
大阪市立大学 (2020-2021) |
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研究代表者 |
作間 誠 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (30178602)
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| 研究分担者 |
古宇田 悠哉 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (20525167)
秋吉 宏尚 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80397611)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | ２橋絡み目 / 放物的変換 / 非正曲率立方体分割 / 交代絡み目 / ３次元双曲多様体 / 強可逆結び目 / 不変ザイフェルト曲面 / 同変ザイフェルト種数 / 交代結び目 / ２橋結び目 / homotopy motion / Heegaard surface / mapping class group / Haken manifold / ３次元多様体 / クライン群 / 写像類群 / ヘガード分解 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，３次元多様体の幾何構造と組合せ構造（特にヘガード構造，ファイバー構造，標準的分割）の関係を解明し，それを通して「３次元多様体の空間」の構造への知見を得ることを目指す．曲面の自己同相写像が与えられたとき，「写像トーラス」を作れば円周上の曲面束が得られるのに対し，ある種の「写像シリンダー」を作れば，3 次元多様体のへガード分解が得られる．曲面束に対するJorgensen-Thurston 理論の類似（拡張）を3 次元多様体のへガード分解に対して確立し，その観点から３次元多様体の幾何構造，そして「３次元多様体の空間」を理解することが本研究の基本構想である．
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| 研究実績の概要 |
（１）Agolが2001年にアナウンスした次の定理に完全な証明を与えた。「定理：双曲２橋絡み目群のメリディアン対が上方メリディアン対、下方メリディアン対どちらにも同値でないならば、それが生成する部分群は幾何学的有限な自由群である。」証明の鍵は、I. Aitchison, D. Thurston、横田佳之により構成されていた交代絡み目補空間の非正曲率立方体分割である。この立方体分割は、交代絡み目の２つのチェッカーボード曲面をハイパー曲面として含み、このことを用いると、双曲的交代絡み目のチェカーボード曲面は擬フックス群を定めることが示される。そのため、絡み目補空間の普遍被覆である３次元双曲空間へのチェカーボード曲面の持ち上げは３次元双曲空間の無限遠境界であるリーマン球面上の円周をその無限遠境界として定める。チェカーボード曲面が交代絡み目補空間の非正曲率立方体分割のハイパー曲面であることを用いて、このようにして登場する円周達の交差のパターンの情報が得られ、それを用いて与えられたメリディアン対の無限遠リーマン球面への作用を記述し、定理の条件を満たすメリディアン対が幾何学的有限な自由群であることを示すというのがAgolのアイデアである。このアイデアを実現する厳密な議論を与えたのが、今回の成果である。
（２）上述の結果を、完備双曲的３次元多様体の基本群Gの２つの放物的変換で生成される部分群Hに対するものに一般化し、次のいずれかが成立することを証明した。(a) Hは自由群（Gが幾何学的有限である場合は、H も幾何学的有限）。(b) G=Hは２橋絡み目絡み目群。(c) Hは２成分２橋絡み目群、Gは射影空間内の有理絡み目の補空間の基本群でHはGの指数２の部分群。
以上は坂井駿介との共同研究であり、研究成果を纏めた論文を執筆し、arXivに投稿後意見を待って、改訂版を専門誌に投稿した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
興味深いアイデアに基づいているが詳細が与えられていなかった２橋絡み目群の放物的部分群に関するAgolの議論にきちんとした説明を与えて細部まで議論を書き下し、加えて、その結果の一般化を与えることができたため、概ね順調に進んでいると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
（１）今回完成した論文で与えた厳密な議論を出発点にして、チェッカーボード曲面から構成される３次元双曲空間の無限遠境界上の円周たちのワジ割のパターンの、さらに精密な解明に取り組む。
（２）交代絡み目の交代ダイアグラムのフライプを非正曲率立方体分割の観点から研究し、Tait フライプ予想への新しい視点を与える。
（３）２つの放物的変換で生成される群全体が作る空間の構造の研究を再開する。
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