| 研究課題/領域番号 |
20K03615
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 愛媛大学 |
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研究代表者 |
D・B Shakhmatov 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (90253294)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | Zariski topology / Markov topology / Hausdorff embedding / extension of topologies / free group / algebraic set / unconditionally closed / precompact topology / automorphism group / general linear group / special orthogonal group / Euclid space / subsemigroup of R^n / generators / 位相群 / 極小概周期群 / extreme amenability / 稠密可能な集合 / 無条件閉集合 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
コンパクト群への非自明な連続準同型写像をもたない位相群を極小概周期群とよぶ. 任意のコンパクト空間への連続群作用が不動点をもつ位相群を超従順群という. 超従順群は極小概周期群であるが, 可換な極小概周期群が超従順群であるか否かは未解決である. 特に, 可分位相群に対するこの問題は, 整数論と密接な関係をもつ. 一方, 1941年のMarkovによる未解決問題「群Gのザリスキー位相で稠密な部分集合はG上のあるハウスドルフ群位相で稠密であるか」はよく知られている. 本研究では, 可換捩れ群に対するMarkovの問題の解決と, 可換群における極小概周期群と超従順群の関係の解明を目指す.
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| 研究実績の概要 |
Let G be a group, and let w be a word in the free product G*Z of G with the cyclic group Z (whose generator is denoted by z). The solution set of an equation w=1 is the set of all elements x of G*Z such that w'=1, where w' is the word obtained from w by replacing all occurencies of z in w with x. The Zariski (verbal) topology of a group G is the smallest topology on G in which solution set of all equations w=1 in G are closed.
A subset of a group G is unconditionally closed in G if it is closed in every Hausdorff group topology on G. The family of all unconditionally closed subsets of G forms the family of closed subsets of a unique topology on G called its Markov topology.
A subgroup H of a group G is Zariski (Markov) embedded in G if the Zariski (Markov) topology of H is the subspace topology it inherits from the Zariski (Markov) topology of G. A subgroup H of a group G is Hausdorff embedded in G if every Hausdorff group topology on H can be extended to a Hausdorff group topology of G in such a way that the original topology becomes a subgroup topology. We prove that every subgroup of a free group is both Zariski and Markov embedded in it. On the other hand, we construct a normal subgroup of a free group with 2 generators which is not Hausdorff embedded in it.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
The research proceeds according to the original plan.
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| 今後の研究の推進方策 |
We shall attempt to characterize potentially dense subsets of countable free groups. In a given variety V of groups, we shall attempt to prove that the free group in the variety V has its Markov and Zariski topologies coincide.
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