| 研究課題/領域番号 |
20K03618
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (10264144)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 結び目 / 組みひも群 / 擬アノソフ同相写像 / 最小生成系 / 代数曲線 / 周期的写像 / 3次元多様体 / 分岐被覆空間 / トポロジー / 曲面結び目 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
３，４次元などの低次元多様体の位相幾何学的研究において，その中に埋め込まれた閉曲面の研究，特にその位置の研究が中心的な役割を演じる．さらに，位置の研究のためには，それらの曲面の多様体内における対称性や複雑度について調べる事が重要である．本研究では，特に４次元球面に埋め込まれた曲面や，3 次元多様体内の本質的な曲面，ヒーガード曲面，2 重分岐被覆として現れるファイバー曲面について，それらの対称性と複雑度について写像類群と関連付けることにより研究する．
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| 研究実績の概要 |
写像類群と結び目に関して主として次の研究を行った：
１）擬アノソフ同相写像による写像類群の生成の研究（門田直之氏（岡山大学）との共同研究）：NielsenとThurstonにより向き付け可能閉曲面の写像類は、周期的な写像、既約な写像、擬アノソフ同相写像の3種に分類されている．一方、写像類群の2つの元による生成が、Wajnryb をはじめとし、Korkmaz や門田氏などの多くの研究者によって研究されているが、これらの研究で扱われた生成元は、周期的な写像や可約な写像であった．今年度、門田直之氏と共同で、
2つの擬アノソフ同相写像により写像類群が生成されること、特に、種数が十分大きい時は互いに共役な2元で生成されることや、生成元としていくらでも大きな拡大度を持つものが取れることを示した．
２）Quasitoric 組みひもによる結び目の表示の研究（重田泰我氏（東京理科大学）、大森源城氏（東京理科大学）との共同研究）：Lamm と Manturov により、独立に、任意の結び目が quasitoric 組みひもと呼ばれる簡明な射影図をもつ組みひもの閉包となっていることが示されている．今年度、特に、3本の紐からなる quasitoric 組みひもの閉包となる結び目について考察した。8交点以下の結び目で3本の紐からなる組みひもの閉包となる結び目について、わずかな例外を除き、列の数が最小となる quasitoric 組みひもの閉包としての表示を得るとともに、3本の紐からなる quasitoric 組みひものなす群の有限表示を求めた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
以下の理由より，研究はやや遅れていると判断した．
１）コロナの影響により秋まで出張を行うことができず、研究打ち合わせにより研究を進展させることや、研究集会に出て研究成果の発表を行い最新の情報を得ることが難しかったため．
２）今年度、擬アノソフ同相写像による写像類群の2元生成を示すことができたことは、全く予想外の進展であり、将来の研究の進展に期待ができること．
３）その一方で、今年度研究を計画していた balanced superelliptic 写像類群や点付き球面上の弧を用いた古典的結び目や曲面結び目に関する研究については十分に考察する機会が得られなかったこと．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度までの研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの閉曲面や結び目等の対称性や複雑度に関する研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）3 次元多様体の分岐的virtual fibrationのモノドロミーの研究： 今年度得られた3次元球面以外の3次元多様体の2重分岐被覆として現れる曲面束のモノドロミーに関する考察を推し進めることにより、より一般的な3次元多様体について同様の問題を考察する．
２）写像類群の部分群をモノドロミーとするLefschetzファーバー空間についての研究： 今まで得られた種々の写像類群の部分群に関する知見を援用することにより、Lefschetz ファイバー空間の構成やその対称性について考察を行う．とりわけ、超楕円的写像類群をモノドロミーとするものは、組みひも群との強い関連性があり、非常に興味深い対象である．
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