| 研究課題/領域番号 |
20K03621
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 山梨大学 |
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研究代表者 |
中村 拓司 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (60382024)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 仮想結び目 / 仮想絡み目 / 仮想化デルタ変形 / 仮想化シャープ変形 / 仮想化パス変形 / 交差多項式 / 4-変形 / サポート種数 / 宮澤多項式 / ねじれ多項式 / 連結和 / 交差交換 / 仮想化 / 結び目 / 局所変形 / 多項式不変量 / 3次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3次元球面に埋め込まれた円周を結び目という．結び目理論ではその分類が基本課題であるが，結び目の幾何的・代数的性質の研究，及びその関連性の研究も重要課題である．局所変形とは結び目の一部分を取り替える操作で，結び目の幾何的・代数的性質に多大な影響を与える．
本研究の全体構想は，局所変形が与える結び目の幾何的性質と代数的不変量の性質との関係を明らかにし，結び目理論・低次元トポロジーに新たな展開を与えることである．具体的には，局所変形1回でほどける結び目の多項式不変量の特徴付け，局所変形を通した仮想/溶接結び目の代数的不変量の開発・探求，これまでと異なる局所変形族で定めた新しい結び目理論の構築を行う．
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は結び目の幾何的性質と代数的不変量の関係を局所変形の観点から明らかにすることである．特に多項式不変量と局所変形の関係の解明や，局所変形を通した新しい代数的不変量の開発を課題としている．
本年度は主に，神戸大学の中西康剛氏，佐藤進氏，和田康載氏との共同研究において，仮想結び目・仮想絡み目の新しいタイプの局所変形による分類について研究した．古典的結び目理論において，交差の上下を交換する交差交換は基本的な局所変形であり，結び目解消操作であることが知られている．仮想結び目においては実交点の交差交換は結び目解消操作ではないが，実交点を仮想交点に置き換える操作は結び目解消操作である．本研究では古典的結び目理論における基本的な局所変形であるデルタ変形，シャープ変形，パス変形に対して，それらに関係する実交点をすべて仮想交点に置き換えるという仮想化デルタ変形，仮想化シャープ変形，仮想化パス変形を導入し，それらが仮想結び目の結び目解消操作であることを示した．古典的結び目に対しては，デルタ変形，シャープ変形は結び目解消操作であるが，パス変形はそうではない．各仮想化型の局所変形に対し，結び目解消数を定義し，奇ねじれ数による下からの評価を与え，その等号を実現する例の構成をした．仮想絡み目については仮想絡み数タイプの不変量を導入し，各仮想化型の局所変形について分類した．向きの付いた仮想化デルタ変形は2つの異なるタイプがあることを示し，仮想化シャープ変形，仮想化パス変形についての分類は，それぞれの向きの付いた仮想化デルタ変形による分類に帰着する．これらの成果は論文にまとめ，投稿中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
局所変形の話題について， 仮想結び目・仮想絡み目に関する新たな知見を得たことは本研究課題に即した進展である．しかし，計画にある多項式不変量との関係，特に古典的結び目のパス変形とアレキサンダー多項式との関連やジョーンズ多項式に対する局所変形についての研究はやや遅れていると考える．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて，今後の研究の方針を次のように考えている．
（１）引き続きパス変形の問題に取り組む．古典的結び目のパス変形に関するアレキサンダー・コンウェイ多項式の実現問題について，高木-中西で得られた例とは別の新たな例の構成や一般化を図る．パス変形に関する結び目全体の集合の構造解析に取り組む．
（２）ジョーンズ多項式や交差多項式について，局所変形での変化を調べるとともに，多項式を変えないような局所変形の開発を行う．仮想化型の局所変形との関係も調べる．
（３）3次元多様体を表す仮想結び目図式上の局所変形とこれまでに得られたリザンドル彩色不変量との関連を研究する．
（４）宮澤多項式の(Aの多項式)x_ix_jx_kという形の項と対応する局所変形を開発し，サポート種数との関係（評価）を調べる．
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