| 研究課題/領域番号 |
20K03621
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 山梨大学 |
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研究代表者 |
中村 拓司 山梨大学, 大学院総合研究部, 教授 (60382024)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 仮想結び目 / 交差多項式 / 4-変形 / サポート種数 / 宮澤多項式 / ねじれ多項式 / 連結和 / 交差交換 / 仮想化 / 結び目 / 局所変形 / 多項式不変量 / 3次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
3次元球面に埋め込まれた円周を結び目という．結び目理論ではその分類が基本課題であるが，結び目の幾何的・代数的性質の研究，及びその関連性の研究も重要課題である．局所変形とは結び目の一部分を取り替える操作で，結び目の幾何的・代数的性質に多大な影響を与える．
本研究の全体構想は，局所変形が与える結び目の幾何的性質と代数的不変量の性質との関係を明らかにし，結び目理論・低次元トポロジーに新たな展開を与えることである．具体的には，局所変形1回でほどける結び目の多項式不変量の特徴付け，局所変形を通した仮想/溶接結び目の代数的不変量の開発・探求，これまでと異なる局所変形族で定めた新しい結び目理論の構築を行う．
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は結び目の幾何的性質と代数的不変量の関係を局所変形の観点から明らかにすることである．特に多項式不変量と局所変形の関係の解明や，局所変形を通した新しい代数的不変量の開発を課題としている．
本年度は主に，神戸大学の比嘉隆二氏，中西康剛氏，佐藤進氏との以前の共同研究において得られた仮想結び目の新しい不変量である交差多項式の性質と局所変形の関係について研究した．仮想結び目には、図式の各実交点にインデックスという整数値を与え，各実交点で，そのインデックスを変数tの指数，その符号をtの係数とする項を作り，すべての実交点での和を取ってできるねじれ多項式という多項式不変量がある. この拡張として，各実交点対に対しある種の交差数を考え，それを指数，その実交点対の符号の積を係数とする項を作り，すべての実交点対での和を取ってできる多項式（に補正を加えたもの）が交差多項式である．この交差多項式と局所変形との新たな関連として，4-変形と呼ばれる局所変形での交差多項式の変化を研究した．4-変形は古典的結び目理論においても注目すべき局所変形である．実際に4-変形で移りあう二つの仮想結び目の交差多項式は同じ指数を持つ項の係数の偶奇が一致することを示した．この性質はねじれ多項式も持つことが知られている．ねじれ多項式では各係数の偶奇が一致する二つの仮想結び目でも，交差多項式では偶奇が一致しない例が確認されるため，ねじれ多項式では分からなかった4-変形で移りあわないペアとなることが分かる．この結果は現在，論文にまとめている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
仮想結び目における局所変形の話題について，以前の共同研究で定義した交差多項式に関する応用研究で結果が得られた．交差多項式は計算も比較的容易にできるため，他の局所変形との関連も含め，今後も大いに発展する可能性を持つ研究対象と考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて，今後の研究の方針を次のように考えている．
（１）引き続き本研究課題の核になっているパス変形の問題に取り組む．古典的結び目のパス変形に関するConway多項式の実現問題について，高木-中西の例を精査し，新たな例の構成や一般化を図る．パス変形に関する結び目全体の集合の構造解析に取り組む．
（２）交差多項式について，4-変形以外の局所変形での変化を調べるとともに，交差多項式を変えないような局所変形の開発を行う．
（３）3次元多様体を表す仮想結び目図式上の局所変形とこれまでに得られたリザンドル彩色不変量との関連を研究する．
（４）宮澤多項式の(Aの多項式)x_ix_jx_kという形の項と対応する局所変形を開発し，サポート種数との関係（評価）を調べる．
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