| 研究課題/領域番号 |
20K03629
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
上木 直昌 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (80211069)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 確率解析 / 微分方程式 / 作用素論 / 数理物理 / ランダムシュレディンガー作用素 / スペクトル / 磁場 / Anderson 局在 / 確率論 / 解析学 / 関数方程式論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
ランダムなポテンシャルをもつシュレディンガー作用素に関する問題に多角的に取り組む。
代表的な問題にアンダーソン遷移を数学的に説明する問題があり、様々な問題が考えられているが、行き詰っている部分が多く、進展をもたらすには様々な取り組みを試みることが重要である。
現状ではこの様な研究に取り組んでいる多くの研究者は微分方程式の研究としてこの様な研究に入ってきている。一方、本研究は確率解析学の研究として取り組んでいることに特徴があり、確率解析学の方法が有効な問題を重点的に取り組む。
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| 研究実績の概要 |
本研究はランダムなシュレディンガー作用素に関する問題に多角的に取り組むことを目的としている。
ポテンシャルがホワイトノイズになっている場合のランダムシュレディンガー作用素について、コンパクトな空間上ではパラコントロールカリキュラスを用いて自己共役作用素として定義されていたが、次にそれをノンコンパクトな空間上に拡張することが問題になる。この問題について、ポテンシャルを非定常な確率場に変形することによっては解決されていることが分かった。しかしアンダーソン局在を示すにはポテンシャルを定常な確率場にしておきたい。この問題の解決を熱半群を用いたパラコントロールカリキュラスを1の分解を用いて拡張することにより行い、特に基本的な2次元平面全体で定常な自己共役作用素として定義することに取り組んだ。更に出来た作用素のスペクトル集合を決める問題にも取り組んだ。以上の内容について研究発表を数回行った。また論文にまとめ学術雑誌に投稿した。更に出来た作用素のアンダーソン局在を示すことを目標に研究を進めている。
スペクトル集合を決める問題に関しては連続な Gauss 型確率場をポテンシャルとする場合についてはPasturとFigotinの本で証明の方針が書かれていた。それはGauss 型確率場に対する小球確率の正値性を用いるというものだったがその方針で証明するには修正するべき部分があることが分かった。そこで Gauss 型ランダム磁場をもつランダムシュレディンガー作用素とディラック作用素に対しても同様の結果を証明して論文にまとめ、学術雑誌に投稿し、掲載が承諾された。その内容についての学会発表も行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ポテンシャルがホワイトノイズになっている場合のランダムシュレディンガー作用素の研究について、自己共役作用性の証明とスペクトル集合の研究発表を数回行い論文投稿までに至った。
スペクトル集合の決定についてはポテンシャルが連続なガウス型確率場になっている場合について、論文掲載が認められ学会発表も行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
ポテンシャルがホワイトノイズになっている場合のランダムシュレディンガー作用素の研究について、必要に応じて今迄の研究を修整し、アンダーソン局在などの証明を目標に深めていく。その為に幾何学的レゾルベント不等式、ウェグナー型評価、一般化固有関数展開などに相当する結果を得ることを目標にする。また磁場がある場合への拡張も考えたい。
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