| 研究課題/領域番号 |
20K03634
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
|
|---|
| 研究機関 | 筑波大学 |
|---|
研究代表者 |
濱名 裕治 筑波大学, 数理物質系, 教授 (00243923)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
|
|---|
| キーワード | Bessel 過程 / 到達時刻 / Gegenbauer 多項式 / Ornstein-Uhlenbeck 過程 / Wiener sausage / square-root boundary / エントロピー関数 / 大偏差原理 / ピン留め Brown 運動 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
Poisson ポテンシャルをもつランダム Schrodinger 作用素の状態密度関数の Lifshitz tail の研究においては，Wiener sausage の体積の指数関数的な挙動が重要な役割を果たすことが指摘され，大偏差原理という理論がつくられました．
Wiener sausage の体積の大偏差原理については大部分が解決されている一方で，エントロピー関数がどのように与えられるかわかっていません．本研究では，エントロピー関数を決定する試みを行います．また，Ornstein-Uhlenbeck 過程に関する Wiener sausage についても研究を行います．
|
| 研究実績の概要 |
Ornstein-Uhlenbeck 過程に対する Wiener sausage の体積の期待値については， Brown 運動が半径が時刻の平方根のオーダーで大きくなる球面へ到達する時刻の確率分布を調べる必要があり，前年度に執筆し投稿した論文が認められ，査読付国際学術雑誌である Opuscula Mathematica に掲載されるに至った．さらに，その到達時刻における Brown 運動の位置に情報が必要であることが前年度の研究でわかっているので，手始めに，Brown運動が，半径を固定した球面への到達する時刻とその位置の同時分布を調べた．青山学院大学理工学部の松本裕行教授と共同で研究した結果，同時密度関数が Bessel 過程の到達時刻の確率密度関数と Gegenbauer 多項式あるいは Chebyshev 多項式で表示できることが得られた．さらに，その結果は定数ドリフト付きの Brown 運動にまで拡張することができた．得られた成果を論文にまとめ査読付国際学術雑誌に投稿した．問題の解決に至った本質は，Brown 運動の斜積変換と Brown 運動の回転不変性にある．一方，到達位置を固定しておいて到達時刻が大きい時の時刻に関する漸近展開も得られたが，まだ結果が不十分で公表するには至っていない．
ここで用いられた手法がどこまで Ornstein-Uhlenbeck 過程に応用できるのかまたはできないのか検討を始めた．また，Brown 運動の性質が，動く空間によって半径方向の運動がどのようにかかわっているかを調べることも重要な手掛かりになると考えて，実双曲空間上の Brown 運動の球面への到達時刻について，筑波大学の大学院生と共同で研究を行った．得られた成果を論文にまとめる作業に入った．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
Ornstein-Uhlenbeck 過程に対する Wiener sausage については，Brown 運動が持っている平行移動不変性がないために，従来の手法は使えないことが大きな障壁となっている．前年度の研究で，期待値を求めるためには，Brown 運動の時間とともに原点から広がっていく球面への到達時刻を調べることに帰着できることがわかっているが，の到達時刻と到達点および Brown 運動の到達時刻までの積分の同時分布を調べる必要がある．今年度においては，到達時刻とその時刻での位置の同時分布までが解明できたが，到達時刻までの積分まで組み込んだもの，つまり，到達時刻と到達位置と積分の三つ組みの同時分布が得らるまでにはまだ道は長い．
また，Browjn 運動に対する Wiener sausage の体積のエントロピー関数については，なかなか有効な手段を発見することができず手つかずのままである．微分積分作用素を生成作用素にもつ拡散過程に対する Wiener sausage の論文を入手したが，参考にならないものであった．
|
| 今後の研究の推進方策 |
Brown 運動の球面への到達時刻と到達時刻までの積分の同時分布を求めることが必要なのであるが，半径が固定された球の場合に考えることから始めることになる．今のところ，先行する論文はみあたらないのであるが，積分だけであればすでに求められているので，到達時刻との同時分布は解決できるものと考えており，Brown 運動の斜積変換を用いるといった松本氏と共同で開発した手法を用いる．これとは別に，Ornstein-Uhlenbeck 過程の球面への到達時刻とそのときの位置についての研究からのアプローチも試みる．
Wiener sausage の体積については，新たに入手した論文もやはり参考にはならないことが分かり，先行結果を続けて調べる必要がある．
|
