| 研究課題/領域番号 |
20K03647
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
|
|---|
| 研究機関 | 千葉大学 |
|---|
研究代表者 |
安藤 浩志 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (40767266)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
|
|---|
| キーワード | Polish群 / C*環 / Lie群 / ユニタリ群 / 近似的内部自己同型群 / Coarse geometry / 作用素環 / 作用素環論 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
Polish 群のユニタリ表現は、理論面と応用面の双方で多くの分野と関連し、様々な興味・手法から研究されている。中でも何らかの位相でU(H) の閉部分群として実現できるユニタリ型Polish 群は解析的に望ましい性質を有する事が期待されるが、研究手法が確立
していない為に系統的な研究は多くない。そこで次の2つのテーマを探求する。
(i) Polish 群の中で、ユニタリ型Polish 群のなすクラスの特別な性質とその作用を良く理解する事。
(ii) ユニタリ型Polish 群の研究を通し、作用素(環) 論・Polish 群論・集合論(モデル理論、記述集
合論等) との新たな関りを見つける事。
|
| 研究実績の概要 |
Michal Doucha氏との単位的可分C*環のユニタリー群、自己同型群に関する共同研究を継続し、以下の結果を得た。
(1) Aを単位的可分C*環, Iを閉両側イデアル, とする。U_AでAのユニタリー群の単位元の連結成分を表す。このとき前年度のperfectイデアルに関する結果を応用して、U_Aの閉正規部分群Nに対して、あるperfectイデアルIが存在しU_Iのcommutator subgroupの閉包をCU_I, N_IをU_Aの要素uで(u,U_A)(U_Aの元とuとのcommutatorのclosure)がU_Iに含まれるものからなる群とすると、CU_I⊆H⊆N_Iを満たし、逆にこのようなHはU_Aの閉正規部分群である事を示した。
(2) U_Aに属する要素からなる内部自己同型で各点収束位相で近似されるAの自己同型全体をV_Aとあらわさす。同様にV_IをIのunitizationに対して定義する。このときA, I の中心列と二重超積を考察することでAからA/Iへの自然な全射PはV_A/V_IとV_{A/I}の位相群同型を導くことを示した。証明の各所で可分性が必要なため、可分性の仮定を落とすことができるか現在考察している。
Andreas Thom氏と以下の研究を行い、いくつか中間的成果を得た。
群Gと部分群Hに対して、しばしばGの部分集合Aでcommon transversal, Aが同時にGの右Hコセットの代表系かつGの左Hコセットの代表系となるようにできる場合がある。有限群の場合はこれはHallの定理の帰結であるが、無限群の場合一般にはHNN拡大などで容易にcommon transversalが存在しない群のペアを見つける事ができる。今回Gが位相群, Hが閉部分群である場合にどのような条件下でBorel集合をcommon transversalとして取ることができる場合があるかを研究しいくつかの十分条件を発見した(現在論文を準備中)。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画通りすべて進行しているわけではないが、Doucha氏との共同研究は昨年度の成果を活かして新たな知見が得られている。
今年度はThom氏とのBorel common transversalの研究など予想外の方向でも成果が得られており、新たな研究の方向性が見つかった。
|
| 今後の研究の推進方策 |
引き続きU_Aの閉正規部分群の構造について研究を進めるとともにこれを群Gのreduced群C*環C*_r(G)のG-invariant subalgebraの構造研究に応用することを目指す。Common transversalの存在はある種のPolish群のカテゴリーでは適当なindex conditionの成立が必要十分かもしれないと推測している。index conditionは必要条件である事は間違いなく、一般のPolish群/compact群のペアでは成り立たない例も見つかったが依然として謎が多い。コンパクトLie群とコンパクト群の間の微妙な差が影響しているのではないかと考えている。今後Lie群の構造を利用した議論からindex conditionにつじて調べていきたい。
|
