| 研究課題/領域番号 |
20K03648
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
廣惠 一希 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (50648300)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | ミドルコンボリューション / 組紐群 / 結び目 / 超平面配置 / 微分方程式のモジュライ空間 / 正則ポワソン多様体 / 正則シンプレクティック多様体の変形 / 微分方程式の特異点の合流 / 不確定特異点 / モジュライ空間 / シンプレクティック幾何学 / 複素多様体の変形理論 / 複素領域の微分方程式 / 箙多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では Riemann 球面上定義された線型微分方程式のモノドロミーや Stokes 構造に関して特異 点の合流を通した統一的な理論を構築する.近年，微分方程式のモジュライ空間が箙多様体と呼ば れる表現論的，幾何学的に豊かな構造をもつ対象として実現されることが申請者等の研究を通して わかってきている.この対応によって微分方程式の特異点の合流理論は，表現論，組合せ論的な研 究対象であるルート系とその退化の理論に置き換えられ，さらにルート系の退化が引き起こす箙多 様体の変形が特異点の合流による微分方程式の変形を記述することになる.
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| 研究実績の概要 |
今年度はKatzのミドルコンボリューションのホモロジー的定式化に関する研究を行った．ミドルコンボリューションは元来Katzによって偏屈層によって定式化されていたものを，VolkleinやDettweiler-Reiterによって行列の組への操作とし再定化がなさていた．この行列を用いた定式化によって，ミドルコンボリューションや微分方程式のモジュライ空間が箙の表現やその鏡映関手と結びついて理論が大きく発展してきた．その反面，行列による定式化は基本群の生成系や表現空間の基底の取り方に強く依存しており，またKatzによる元来の定義では明確であった様々な関手的性質などが見えにくくなってしまうという欠点もあった．こうした背景のもとで，偏屈層による定式化と行列による定式化をつなぐために，局所系を係数とするホモロジー群を用いてミドルコンボリューションを再定式化して整理をした．こうしたことでミドルコンボリューションの持つ関手性，そして積分変換であるEuler変換との対応，そして基底を固定した際のモノドロミー群の具体的計算法，などが統一的に理解できるようなった．さらにその恩恵として，このホモロジー的再定式化を経由することで，これまで穴の空いたリーマン球面上のモノドロミー表現にのみ定義されていたミドルコンボリューションが，より広い位相多様体の上で定義されたモノドロミー表現への自然に拡張されることが示される．特にこれによって，ミドルコンボリューションの枠組みを，組紐群の表現，結目群の表現，超平面配置の補空間の基本群の表現，などに自然に拡張できた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
不確定特異点の解析学を目標とした研究のために，まず既存の理論である確定特異点型のミドルコンボリューションの再定式化を行った．というのも元来の確定特異点型のミドルコンボリューションの理論は偏屈層や行列の組みへの操作として書かれており，いずれもそのまま不確定特異点の場合に適用できるものではなかった．それが当該年度の研究によって局所系係数のホモロジー群への操作としての定式化に成功し，不確定特異点型への自然な拡張への道筋を切り開くことができた．さらに期待を超えた応用として，組紐群や結目群の表現との関連が明確となり低次元位相幾何学への応用が見出された．また近年組紐配置の補空間へミドルコンボリューションを拡張する試みが盛んに行われてきたが，本研究によってこの試みを含むより一般的な形でのミドルコンボリューションの一般化を与えることができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画通り，ミドルコンボリューションの不確定特異点型の局所系（Stokesフィルター付き局所系）への拡張を行う．そのためには今年度までに行ったホモロジー群による定式化が鍵となり，それをBloch-Esnaultによる急減少ホモロジー群と緩増大ホモロジー群を用いて拡張する．さらにBoalchによって与えられた乗法的箙多様体の鏡映としての実現も与える．
また当該研究によってミドルコンボリューションと超平面配置の補空間や組紐群との関連が明らかになったことにより，特にDeligne-Mostow理論の高階局所系への拡張が期待される．
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