| 研究課題/領域番号 |
20K03656
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
神本 丈 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90301374)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 特異点解消定理 / 振動積分 / 局所ゼータ関数 / ニュートン多面体 / 可微分関数 / ベルグマン核 / 有理型関数 / 特異点解消 / D’Angeloの型 / セゲー核 / 代数曲線 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は、複素解析学や調和解析学などの重要な解析学の分野における重要な問題に関して、代数学や幾何学における重要な定理「特異点解消定理」を様々な形で応用することを目的とする。その際に、抽象的な理論の重要性もさることながら、具体的で定量的な情報が必要となり、それらは、関数の「ニュートン多面体」と呼ばれる非常にシンプルな幾何学的な情報から得られることを追求する。
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| 研究実績の概要 |
本年度も、引き続き多変数複素解析学における諸問題と局所ゼータ関数や振動積分の漸近解析に関する諸問題に関して、特異点解消定理を用いることにより、詳しい解析を行い、様々な精密な結果を得ることができた。こららについて詳細に説明する。
多変数複素解析学における問題で、今年度に得た詳細な成果は、ベルグマン核の境界挙動に関するものである。強擬凸の場合にはすでに深い成果が得られているが、レビ形式が退化した場合に関しては、それに比べるとかなり貧弱な成果しか得られていなかった。すでに、私は過去の研究で、特別なクラスのモデル領域に関して、有限型の場合に関して、漸近展開のレベルで詳細な結果を得ていたわけであるが、有限型とは限らないある種の無限型の場合も含む場合の結果を得ることができた。その場合にも、領域の定義関数に関するニュートン多面体の定量的な量と位相的な性質が重要になる。これらの成果の背景には、定量的な意味での特異点解消定理の成果がある。これらは、2022年に行われた葉山研究集会のプロシーディングスに掲載された。
局所ゼータ関数に関する研究の成果は、水野宏真氏との共同研究において得られたものであるが、次のようなものである。Varchenko等により得られている実解析的な関数に関する結果の一般化として、その関数を有理型関数に拡張したものを考える。この場合に関する一般論はすでに、Veys-Galindoにより得られているが、私は水野氏と共同で、Varchenkoの結果を一般化にあたる、ニュートン多面体を用いた定量的な結果を得た。重要な点は、有理型関数を構成する二つの解析的な関数のニュートン多面体の幾何学的な位置関係が、局所ゼータ関数の解析接続に影響を与えるということである。これらは、論文として完成し投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度は、局所ゼータ関数に関して最も多くの時間をかけて研究をすすめた。振動積分に関しても、この成果を用いることにより多くの成果を得ることが期待でき、多くの成果を得たが、まとめて論文にするところまではいかなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究で得られた有理型関数に関する局所ゼータ関数の解析接続に関する成果は、相関数が有理型関数である場合の振動積分の挙動に関して直接応用できることが予想され、この応用をまず確実な形で成果としてまとめたい。その後、これらの研究を行う際に気が付いた多くの問題について、さらに深い考察を行いたい。
多変数複素解析学においては、ベルグマン核の境界挙動をニュートン多面体の幾何学的な情報を用いる方向性の研究を、さらに発展させる予定でいる。すでに、いくつかの成果があるので、これらをまとめる一方、今までの結果から期待される結果「予想」をできるだけきれいにフォームレーションしたいと考えている。同時にその予想の証明にも取り組みたいと思っている。
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