| 研究課題/領域番号 |
20K03659
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
中野 史彦 東北大学, 理学研究科, 教授 (10291246)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | ランダムダイマーモデル / ランダムシュレーディンガー作用素 / 準位統計 / スペクトル / 状態密度 / クロック過程 / アンダーソン局在 / 減衰ランダムポテンシャル / 減衰ポテンシャル / 指数ブラウン運動 / 一般化リフルシャッフル / 行列式過程 / ランダム行列 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
具体的にはランダムシュレーディンガー作用素、ランダム行列、拡散過程それぞれの手法を組み合わせて次の３つの課題に取り組む。
（１）ランダムシュレーディンガー作用素の固有関数の漸近形：固有値と固有関数のなすランダム測度のスケーリング極限
（２）ランダム行列の高温極限：ランダム行列において、行列サイズと温度パラメータを同時に無限大にする極限での固有値・固有ベクトルの挙動
（３）スペクトル端近傍での準位統計：ランダムシュレーディンガー作用素の０エネルギー近傍での固有値・固有関数の漸近分布
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| 研究実績の概要 |
(1)（ランダムダイマーモデル の準位統計）１次元ランダムダイマーモデルにおいて、臨界エネルギー以外の点を参照エネルギーに持つ点過程が、その点近傍での状態密度の連続性についての条件の元で、ポアソン過程に収束することを示した。P. Hislop (Lexington),X.Zeng(Strasbourg)との共同研究．
(2)（ランダムシュレーディンガー作用素 のスペクトル）ある特別なsingle-site distributionを持つランダムシュレーディンガー作用素は最近の研究により、H^{2|2}モデルやvertex reinforced jump process と関係することがわかっている。この作用素について、減衰パラメータを変えたときのスペクトルの転移を調べた。L. Mareche, X.Zeng(Strasbourg)との共同研究.
(3)（２次元デルタポアソンモデルの状態密度）点過程をサポートとするポテンシャルを持つランダムシュレーディンガー作用素 において、点過程のパルム測度が状態密度の挙動に及ぼす影響を調べた. 峯拓矢氏（京都工芸繊維大学）、神永正博氏（東北学院大学）との共同研究.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の目標としていた、１次元ランダムシュレーディンガー作用素において、固有値・固有関数のスケーリング極限を２通りの状況において求める問題は肯定的に解決できた。このことから派生したいくつかの問題に取り組み、今のところ順調に研究が進捗している。
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| 今後の研究の推進方策 |
ランダムダイマーモデルについては、固有関数のスケール極限、及び隣合う固有値同士の差のスケール極限を考える。１次元ランダムシュレーディンガー作用素については、その準位統計を考え、通常のモデルとの違いを考察する。２次元ポアソンモデルについては、ポアソン過程以外のより一般の点過程を考え、パルム測度の言葉を用いて状態密度の漸近挙動を表示する公式を導く。
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