| 研究課題/領域番号 |
20K03666
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
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| 研究分担者 |
赤堀 次郎 立命館大学, 理工学部, 教授 (50309100)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 密度関数 / ジャンプ型確率過程 / 漸近展開 / シミュレーション / 拡散過程 / 弱い微分 / 安定過程 / 最大 / ジャンプ型確率微分方程式 / 停止時間 / 微分 / 安定過程の最大 / 拡散課程 / 無限次元解析 / 部分積分公式 / 反射付き確率微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
拡散課程は自然現象の中でよくあらわれる時間と共に変化する確率過程である。本研究では特に領域内で存在する確率過程について研究を行う予定である。たとえば、領域の境界についたときに確率過程が止まる場合であればその停止時間が大事な概念であり、その停止時間の分布の性質について研究を行う。また、停止された確率過程の微分に関して領域の境界で反射する確率過程の関係について詳しく調べる。また、部分積分公式と呼ばれる公式が得られることを目的とする。この公式により分布グラフの形について様々な性質を調べられる源になる。また、Skewブラウン運動と呼ばれる確率過程についても検討し、具体的な応用例も検討する。
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| 研究実績の概要 |
ジャンプ型確率微分方程式の解について性質を調べて密度関数の評価について研究を行った。２つの観点から研究を行った。
１．Picard氏の解析方法がジャンプ型確率微分方程式の解析のための主な方法ではあるがその代わりにinterpolation方法が最近展開されているため、この方法を利用し、比較を行った。特にdriving過程のモメントだけを利用し、どのような結果が得られることに関して調べた。この設定ではジャンプが０の近くの性質によって密度関数が得られることがよく知られているため、我々の条件では０の近傍でモメントと楕円性の仮定の下で密度関数の存在と滑らかさについて調べた。この結果がElec. J. of Probab.で出版された。２.応用では複合ポアソン過程の種類がいくつかあるがその密度関数の評価が具体的に書いている論文が少ないため、その評価について研究を行い、Applied Math. and Comp.で出版された。この論文ではジャンプの大きさが密度関数があることを仮定し、どのような上からの評価ができるのか調べている論文である。
ファイナンスへの応用として去年までに展開されたparametrix漸近展開を利用し、hedging誤差に関して研究を行い、この結果により一般のstatic hedging技術に貢献した。
シミュレーションに関して対称的なランダムウオークを利用した停止された確率過程の近似について研究を行った。この金融関係の応用としては停止領域が半空間だったが最近はWedgeの場合でも近似できることが判明し、その研究を行いシミュレーション方法と共に誤差評価を行った。この２つの結果がQuantitative FinanceとStoch.Proc. Appl. で出版される予定である。
また、一般の拡散過程の密度関数の展開も得られたのでこれからシミュレーションを行う予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
コロナ禍の中で年度初め共同研究者との議論がうまくできなかったことにより少し研究進行を遅れている。年度後半はある程度、研究者の訪問が認められたため議論が進んでいる。このため今年度は全力的に研究計画を進めることを予定している。
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| 今後の研究の推進方策 |
次元の停止された拡散過程の弱い微分について結果をまとめる方針。Skewブラウン運動の数理ファイナンスへの応用に関して研究を行った論文をまとめることを目指している。特に株価の変動によりvolatilityが不連続に変更する場合に関して検討した。このモデルの表現が確率微分方程式として簡単にかけるが密度関数は具体的に書けないため近似を提案した。その近似精度を測るために具体的なシミュレーションを行う。同じモデルの漸近展開に関する結果が得られ、現在まとめ中である。停止過程の微分表現に関して、多次元の場合での結果について検討を始めている。やはり、この拡張では新しい性質が現れ、それに関しての証明を検討中である。計画として２つの部分に分かれて、半空間と呼ばれる場合と一般の滑らかな領域に関して考えている。半空間では境界での相関係数が微分への影響について研究する予定である。滑らかな領域の場合では微分幾何分野の要素が多く、微分の表現では曲率についての関係性を検討中である。停止時間に関しても微分の表現について考えている、この微分の確率的な表現が得られることで停止過程の微分に関して大部分が解決できる。そのあとは時間が許す限り滑らかではない領域に関して検討する予定であるが難しい問題であるため何年間かかかる可能性が高い。応用に関しても考え始めることも目指している。特に数理ファイナンスの応用と海のダイナミックスに関して検討することを考えている。
シミュレーションに関して拡散過程の密度関数の展開をアプリのようなもので得られることを目指している。このことにより他の研究者が使えることになる。また、そのアプリによって他のシミュレーション方法と比較できるようにしたい。
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