| 研究課題/領域番号 |
20K03669
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
福泉 麗佳 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (00374182)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 光ファイバー通信 / 非線形シュレディンガー方程式 / ゆらぎ・ノイズ / Ginzburg Landau 方程式 / 量子同期 / Kuramoto モデル / Kuramotoモデル / シュレディンガー方程式 / ノイズ / 光ファイバーモデル / ボース・アインシュタイン凝縮 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
確率的な摂動や係数を伴う非線形シュレディンガー方程式の, 解の存在および長時間挙動に関して, 摂動が及ぼす影響を理論的に解明し, 物理や工学において期待される現象の数学的証明を行う. 具体的には, 数学的にも独創性の高い次の2課題の解決を図る.
(i) 正の温度効果下でのボース・アインシュタイン凝縮のモデル方程式の正当化と長時間挙動
(ii) 分散マネージメント光ファイバーモデルの導出の厳密証明
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| 研究実績の概要 |
今年度の実績は大きく三つある。一つ目の成果は分散マネージメント光ファイバーという光ファイバー技術に関連する。その技術とは入力した波が元来持つ分散性によりエネルギー損失が起こるのを防ぐために分散性を周期的に符号変化させて、分散の平均をゼロとするようなファイバーを作るというものである。この技術により、長距離光通信が可能になる。しかしながら、この分散マネージメント光ファイバーのモデル方程式は、周期的な係数を考慮したMaxwell方程式の近似として、非線形Schrodinger方程式で表現されるものなのか以前から問われていた。この問いに対して、否定的な解答（例）を得、単独の非線形 Schrodinger方程式でなく、非線形 Schrodinger のシステムが近似であるはずだという結論を導いた。二つ目の成果は、電気対流におけるパターン形成の現象論的モデルにおけるノイズの影響についてである。具体的には加法的時空ノイズを加えた、線形作用素が非対称なSwift-Hohenberg方程式の大域解が存在することを証明し、適切なスケーリングのもとで、その解が確率的な複素 Ginzburg-Landau方程式の解によって近似されるであろうという予想を数値解析によって観察した。三つ目の成果としては、空間次元3次元以上、全空間においてストラトノビッチ型乗法的ノイズを持つ非線形対数型拡散方程式の解の大域存在を証明した。扱った方程式は多孔質媒体作用素の非線形冪ゼロの場合に相当し、Barbu-Rockner-Russo (2015) の論文で未解決問題とされていたが、この問題を解決した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
新型コロナ感染症による影響でオンラインでの議論を進める手段が発展し、さらに研究協力研究者全員がその手法に慣れてきたため、（対面で議論を進めるよりは要領が悪いのは確かであるが）オンラインの議論だけでも研究が進み、良い結果を出すことが出来た。
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| 今後の研究の推進方策 |
電気対流におけるパターン形成の現象論的モデルにおいて、数値計算で確認した解のパラメータによるスケーリングと、スケール変換後に予想される極限状態について、研究協力者である Blomker, Schneider らと厳密証明を与えるべく議論を進めている。これまで、コロナ禍で彼らに直接会って研究打合せをすることが出来なかったため、今年度の本研究課題は繰越延長ということで、秋ごろに研究代表者がドイツに滞在し全ての成果をまとめる予定である。
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