| 研究課題/領域番号 |
20K03674
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 一橋大学 |
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研究代表者 |
磯部 健志 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (10262255)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2020年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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| キーワード | ディラック・測地線 / スピン山辺方程式 / 臨界点理論 / モース理論 / コンパクト性 / ディラック・調和写像 / モースホモロジー / モース・ボット理論 / ディラック-調和写像 / ディラック方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
１階の楕円型作用素であるディラック作用素を含むディラック型の偏微分方程式は最も基本的な偏微分方程式のクラスであり、幾何学や物理学において重要な役割を果たしてきている。本研究では、変分問題として定式化される幾何学や物理学に登場する様々なタイプの非線形ディラック型方程式の解空間の大域的な構造をモース理論を通して研究し、ディラック型方程式の解空間の構造と方程式が定義されている多様体の幾何学的な構造の関係性を明らかにする。また、これらのモース理論を展開する上で必要となるディラック型方程式の幾何解析的側面も研究する。
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| 研究実績の概要 |
2023年度は，2022年度から継続してディラック・調和写像に対するモース・ボットホモロジーに関する論文の作成とディラック・測地線の存在問題，及びスピン山辺方程式の解空間のコンパクト性に関して研究し成果を得た．
ディラック・調和写像に対するモース・ボットホモロジーの構成は2022年度までの研究で一通り完成させていたが，2023年度はその結果を論文としてまとめ上げる作業を行なった．2023年度末までで一通り論文を書き終わり，あとは推敲作業を残すのみである．
ディラック・測地線の研究に関しては，2022年度までのトーラスを標的多様体とする場合のディラック・調和写像の研究により，一般の標的多様体の場合にも解の個数が標的多様体のコホモロジー環のカップ長による下からの評価を持つことを予想していた．2023年度の研究では，初めに非線形摂動項が特別な形をした幾つかの場合を詳細かつ具体的に調べることでシンプレクティック多様体上のハミルトン系の周期解の存在に関するアーノルド予想に類似した，解の個数の下限評価がこれらの特別な場合に成り立つことを確かめ，この結果は一般の場合にも成り立つであろうという予想を立てた．一般の標的多様体の場合にこの予想を証明することは，技術的な理由により，2023年度中の研究ではできなかったが，標的多様体の曲率が負である場合には一般的な場合に予想が正しいことを証明した．
スピン山辺問題に関しては，2022年度までの研究で，球面上の一般的な標準計量の摂動及び定数ポテンシャルの一般的な摂動に対して，解の空間は非コンパクトであることを予想していた．2023年度の研究では具体的に解空間が非コンパクトとなるような球面上の標準計量の摂動及び定数関数の摂動を構成した．これはスピン山辺方程式の非コンパクト性を証明した最初の結果である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の予定通り研究が進んだためおおむね順調に進展していると判断する。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後も，ディラック・測地線，ディラック・調和写像，及びスピン山辺方程式の研究を継続して行う．ディラック・測地線に関しては標的多様体の曲率の条件が外せるかどうかを考察する．また，負曲率（あるいは一般の場合に）標的多様体の場合にモース・ホモロジーの構成可能性を考察し，2023年度に得られた結果の精密化を行う．ディラック・調和写像に関しては2022年度までの結果を一般の標的多様体にまで拡張できるかどうかの考察を行う．スピン山辺方程式に関しては，2023年度は考察を球面上の場合に限定したが，2023年度に証明した結果は一般のスピン多様体上でも，多様体の次元の制限のもとで，成り立つことが予想される．2024年度以降は，この一般的な場合の予想の証明に向けて考察を行う．
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