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微分方程式の適切性理論-ベクトル空間の枠を超えた展開-

研究課題

研究課題/領域番号 20K03677
研究種目

基盤研究(C)

配分区分基金
応募区分一般
審査区分 小区分12020:数理解析学関連
研究機関静岡大学

研究代表者

田中 直樹  静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
キーワード発展作用素 / 安定性条件 / 高村予想 / 二重非線形発展方程式 / 変異解析 / 距離空間における微分方程式 / 南雲の条件 / 岡村の一意性条件 / 定義域が稠密でない作用素 / 解の初期値に関する連続的依存性 / サイズ構造モデル / 距離空間における勾配流 / 劣微分作用素理論 / 遅れを考慮した非自励な方程式 / 準線形方程式 / カラテオドリー条件 / 初期値問題に関する適切性定理 / 初期値問題に関する近似定理 / 半線形発展方程式 / 距離を用いた消散構造 / 非自励系
研究開始時の研究の概要

本研究は, 解の初期値に関する連続的依存性に着目し, バナッハ空間における非自励な微分方程式に対する適切性の研究を, 距離を用いて方程式の消散構造を捉える研究へと発展させ, さらに, ベクトル空間の枠を超える適切性定理へと深化させるものである。具体的には, 時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張, 及び, 距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指す。さらに, 距離空間における勾配流に対する適切性定理を自励系から非自励系へ拡張する。これらにより, 新たな潮流である線形構造を有しない空間における微分方程式への体系的な理解を進める。

研究実績の概要

[1] 時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張:昨年度までに確立していた「非自励な発展方程式の初期値問題に対する適切性定理」が「時間とともに変化する発展作用素は加藤の安定性条件より弱い安定性条件から生成可能であり, その生成定理が退化波動方程式へ適用可能である」という高村予想へ応用可能であることを明らかにした. その成果を第187回神楽坂解析セミナーにおいて発表した(招待講演).
[2] 変異解析が秘める可能性の追究-距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指して-:これまでの順調な成果を踏まえ昨年度に方向づけた新たな研究課題「準微分方程式に対する適切性定理の確立」を実現し, その応用として, 楕円-双曲系抽象方程式の解析手法にもとづく加藤の非線形理論及び作用素半群に関する Chernoff の積公式を導出した. その成果を2024年度日本数学会年会実函数論分科会において発表した(招待講演). 現在, 他の応用事例を調査しつつ, 準微分方程式に対する適切性定理のさらなる有用性として, 福原微分で記述される set evolution equation の初期値問題等との関連性を探っている.
[3] 距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張-自励系から非自励系へ-:東北大学の赤木氏と共同で取り組んだ存在性に焦点を絞った研究「劣微分作用素理論を軸とした二重非線形発展方程式の可解性」から得た視点を活かし, 可積分な2変数関数の活用による消散構造を組み込んだ積分解の導入を軸とする展開を加速することとした.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

4年目に実現する予定であった課題「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張-自励系から非自励系へ」について, 可積分な2変数関数の活用による消散構造を組み込んだ積分解の導入を軸として展開しているものの, 成果をあげるに至っていない. また, 新たな研究課題「準微分方程式に対する適切性定理の確立」の実現は, 当初計画より一歩進むものであるが, その有用性を調査している状況であり, 原稿の作成段階に至っていない. これらのことから, 限られた研究時間内で計画的に進めているが, おおむね順調に進展しているとは考えにくく, やや遅れていると判断する.

今後の研究の推進方策

研究課題「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張-自励系から非自励系へ」の実現で当初の計画がすべて完成する. このことを踏まえ, 距離空間における勾配流がヒルベルト空間における勾配流の一般化であることから, ヒルベルト空間における非自励な勾配流への重要な実績をもつ東北大学の赤木氏をはじめとする発展方程式研究会のメンバーによる専門的知識の提供を受けながら完成を目指したい.

報告書

(4件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 研究成果

    (9件)

すべて 2024 2023 2022 2021 2020 その他

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (5件) (うち招待講演 2件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Evolution equations governed by quasilinear operators satisfying Caratheodory’s conditions2022

    • 著者名/発表者名
      Matsumoto Toshitaka, Oka Hirokazu, Tanaka Naoki
    • 雑誌名

      Dissertationes Mathematicae

      巻: 571 ページ: 1-70

    • DOI

      10.4064/dm836-10-2021

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Well‐posedness for fully nonlinear functional differential equations2021

    • 著者名/発表者名
      Tanaka Naoki
    • 雑誌名

      Mathematische Nachrichten

      巻: 294 号: 8 ページ: 1595-1628

    • DOI

      10.1002/mana.201800498

    • NAID

      120007120066

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mutational analysis with transitions whose domains vary in state and that are not necessarily Lipschitz continuous in time2021

    • 著者名/発表者名
      Takami Kazuki、Tanaka Naoki
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 498 号: 1 ページ: 124967-124967

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2021.124967

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] 発展方程式に対する抽象理論 -加藤による準線形理論に関連する話題を中心に-2024

    • 著者名/発表者名
      田中直樹
    • 学会等名
      日本数学会 実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Abstract evolution equations governed by time-dependent dissipative operators with respect to metric-like functionals2023

    • 著者名/発表者名
      Tanaka Naoki
    • 学会等名
      第187回神楽坂解析セミナー
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] 一般化された安定性条件の下での線形発展作用素の生成について2023

    • 著者名/発表者名
      Matsumoto Toshitaka, Tanaka Naoki
    • 学会等名
      日本数学会 実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] Gradient flow theory for time-dependent energies and applications to nonlinear PDEs2022

    • 著者名/発表者名
      Akagi Goro, Tanaka Naoki
    • 学会等名
      日本数学会 実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [学会発表] Caratheodory条件を満たす準線形作用素に支配される発展方程式に対する適切性と近似可解性について2020

    • 著者名/発表者名
      松本敏隆、岡裕和、田中直樹
    • 学会等名
      日本数学会 実函数論分科会
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
  • [備考] 静岡大学教員データベース

    • URL

      https://tdb.shizuoka.ac.jp/RDB/public/

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書 2022 実施状況報告書 2021 実施状況報告書 2020 実施状況報告書

URL: 

公開日: 2020-04-28   更新日: 2024-12-25  

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