| 研究課題/領域番号 |
20K03679
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
西谷 達雄 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80127117)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | Ivrii 予想 / 3次実効的双曲型特性点 / Bezout 行列 / Admissible metric / Weyl-Hormander calculus / 対称化行列 / 実効的双曲型特性点 / Tricomi 作用素 / Bezout 形式 / 実効双曲型特性点 / 対角対称化行列 / 初期値問題 / ３重特性点 / ハミルトン写像 / Gevrey空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
P を斉次 m 階微分作用素とし，初期平面を固定して初期値問題を考える．このとき m-1 次以下の任意の微分作用素 Q について，P+Q に対する初期値問題が無限回微分可能な関数の空間で適切となるような P の構造を解明することが本研究の目的である．特に P のシンボル p の多重特性点で， p をハミルトニアンとするハミルトン方程式を線形化して得られる，ハミルトン写像が非零の実固有値をもつなら，初期平面を固定した初期値問題は，すべての低階について無限回微分可能な関数の空間で適切であるか，あるいは十分に広い Gevrey 空間で適切であるかどうかを明らかにすることを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
3 階の微分作用素で主シンボルが初期面の上で重複度 3 の特性根をもち，この特性点が実効的双曲型である場合にこの 3 階の微分作用素に対する初期値問題を 3x3 の一階の方程式系に書き直し主シンボル p と p' のBezout 行列によってこの系を対称化し，さらにこの Bezout 行列を直交行列 T で対角化し，同時に T で未知変数を変換して新しい系に帰着させる．この操作によって元の方程式は対角行列を対称化行列に持つ 3x3 方程式系に帰着される．このとき対角成分は Bezout 行列の固有値であ Bezout 行列が非負定符号であることからこの対角行列の成分は非負である．T は p の多重特性点では滑らかには選べないのでまず p に 2 階の摂動項を加え多重特性点を解消した．このとき一般には Bezout 行列や T は (1/2, 1/2) 型のシンボルになるがこれらの導関数を詳しく評価した．この結果 Bezout 行列の (摂動された) 固有値は，局所化の度合いを表すパラメーターを含む metric に対して admissible な weight であることが分かった．これによって Weyl-Hormander culculus の適用が非常に簡明になり局所化作用素に対するエネルギー評価を得ることができた．このエネルギー評価を利用して局所化作用素に対する初期値問題の一意可解性を示した．次にこの局所化作用素の (初期値問題 ) の解作用素が超局所有限伝播性の性質を持つことを示した．これは方法的には一階の双曲型作用素の解作用素の超局所有限伝播性を示す方法に倣うが一般には非常に複雑になる．しかしながら扱うシンボルが同時に admissible な weight になっている，という枠組みを利用することによりこの遂行が可能となった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
3 階の微分作用素については実効的双曲型特性点の周りに局所化した作用素についてエネルギー評価を導くことに成功した．このエネルギー評価はこの問題の当然の帰結として低階に依存して滑らかさを失うタイプのものであるがこのエネルギー評価から局所化作用素の初期値問題に対する一意可解性が示せた．さらに局所化の度合いを表すパラメーターとこのパラメーターを含む metric を導入し，扱う正値なシンボルおよび非負値のシンボルを正値シンボルで近似したものがこの metric に対して admissible な weight になっている，という枠組みを構築し．局所化作用素の (初期値問題) の解作用素が超局所有限伝播性を持つことを示した．この局所化作用素の解作用素の超局所有限伝播性を利用して Ivrii 予想を完全に証明することに成功した．
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| 今後の研究の推進方策 |
今回の研究過程で明らかになったことであるが，初期平面を固定して，初期値問題を時間未来に対してのみ設定するときには，実効的双曲型作用素は強双曲型作用素であるか？という問題は 2 階の微分作用素に対しても未解明であることが分かった．この点を明らかにしたい．また局所化の度合いを表すパラメーターとこのパラメーターを含む metric を導入し，扱う正値なシンボルおよび非負値のシンボルを正値シンボルで近似したものがこの metric に対して admissible な weight になっている，という枠組みを利用するとこれまでの実効的双曲型作用素に対する様々な取り扱いがどのように簡単化また明瞭化されるかを今後の研究課題としたい．
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