| 研究課題/領域番号 |
20K03691
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
佐藤 洋平 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (00465387)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2024年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 変分法 / 摂動法 / 連立楕円型偏微分方程式 / スカラーフィールド方程式 / 局所ミニマックス法 / シューティング法 / 特異摂動問題 / ポテンシャル関数 / 楕円型偏微分方程式 / シュレディンガー方程式 / エネルギー最小偶関数解 / 定在波解 / 最小化問題 / 臨界点理論 / 解の多重存在 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
自然界のさまざま現象を記述する微分方程式は変分原理に基づくものが多い。この研究では変分原理に基づく連立非線形楕円型偏微分方程式系の解構造を数学的に研究する。研究の道具としては、変分原理に直接アプローチをして解の存在を保証する変分法を用いる。また比較的よく解構造が分かっている方程式からの摂動とみなして解構造を解明する摂動法を用いる。
特に本研究では、連立方程式の相互作用の項に引力的な項と斥力的な項が混在するときの解の存在や解の形状について研究する。
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| 研究実績の概要 |
2022年度までに考察した3つの楕円型偏微分方程式から成る連立方程式の非線形項は3変数の奇関数をテイラー展開したときの3次の項であり、特に相互作用項の形はその3次の項から決まっていた。2023年度は3派相互作用項と呼ばれるこれまで考えてきた相互作用項と異なる相互作用をもつ連立楕円型偏微分方程式の研究を行った。この研究は学振研究員(PD)の長田祐輝氏との共同研究として開始した。長田氏のこれまでの研究では、対象の連立方程式の特異摂動問題を考え、ポテンシャル関数から決まる位置決め関数の最小点に集中する解を構成していた。そこで、本研究では、位置決め関数の極小点に集中する解の構成を目指し、その構成に成功した。解の構成では局所ミニマックス法による解の特長付けを利用した。その結果、従来の研究より非線形項の冪の条件も弱めることに成功した。この結果は論文に纏め現在学術雑誌に投稿中である。
さらに本年度は無限遠で定数に漸近するポテンシャル関数をもつ１次元のスカラーフィールド方程式の非自明解解の存在と非存在に関する研究も行った。この方程式は2018年に私自身でも研究しており、非線形項が冪型のときに解の存在と非存在がポテンシャル関数の積分値で分類できることを証明した。一方、ポテンシャル関数が定数のときは、Berestycki-Lionsの研究により非自明解が存在するための非線形項の必要十分条件が知られている。そこで、本研究では非線形項が限りなくBerestycki-Lionsの条件に近い場合を考え、非自明解の存在と非存在の条件をポテンシャル関数の積分値を用いて記述することに成功した。また、非線形項が冪型のときには得られていなかった非自明解の多重存在の結果も得た。証明では無限遠の極限値を初期値とする初期値問題の解によるシューティング法を用いた。この結果は論文に纏め現在学術雑誌に投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本年度に行った長田氏との共同研究は、当初の研究計画の中には含まれていなかった。しかし長田氏が研究していた3派相互作用項をもつ非線形連立楕円偏微分型方程式の特摂動問題は、相互作用項の形が当初の研究計画のものと異なることを除けば、本研究の研究課題である「変分法と摂動法による非線形楕円型偏微分方程式系の研究」に当てはまる興味深い研究対象であり、今後の発展も期待できる。そのため、予定の研究課題を保留にして、本研究を行った。
また、2022年度の研究で、全空間上で定義された相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっている3つの楕円型偏微分方程式から成る連立方程式の研究を行った。その研究成果として、空間2次元と3次元の場合は、エネルギー最小偶対称関数解が存在することがわかった。その解の存在証明においては、極限方程式として現れる、無限遠で定数に漸近するポテンシャル関数をもつ、無限に強い引力効果をもつ連立楕円型方程式のエネルギー最小偶対称解の存在が重要な役割を果たした。この研究で1次元の結果が除かれているのは、1次元の場合、極限方程式がエネルギー最小偶対称解をもつための条件が2次元と3次元と異なることがわかったからである。今年度の研究で１次元のスカラーフィールド方程式の非自明解解の存在と非存在に関する研究を行ったのは、1次元のときの解の存在条件を明らかにするためである。この研究も当初の研究計画の中には含まれていなかったが、必要な研究と考えられるため、予定の研究課題を保留にして、本研究を行った。
さらに新型ウィルスの影響により全体的に研究の進捗が遅れていたが、本年度に執筆した論文2本に加え、昨年度から投稿している論文が1本あり、計3本の論文が投稿中である。以上の理由から「やや遅れている」としたものの、当初の研究計画では予想していなかった研究成果も得られている。
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度の今後の研究の推進方策で挙げた研究が、本年度は保留になってしまっているため、今後はその研究を行う。全空間上で定義された連立楕円型偏微分方程式の相互作用項に斥力的な項が含まれる場合を考える。これまでの本研究によって、2本の方程式から成る連立方程式の場合、エネルギー最小偶対称解が存在することがわかった。今後は「エネルギー最小偶対称解の非球対称性の考察」と「偶対称性以外の対称性をもつエネルギー最小解の存在の考察」を行う。
またこれまでの本研究によって、相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっている3つの楕円型偏微分方程式から成る連立方程式の場合、空間2次元と3次元の場合は、エネルギー最小偶対称関数解が存在し得ることがわかった。今後は「空間1次元のときのエネルギー最小偶対称関数解の存在の考察」を行う。
さらに本年度の研究によって、無限遠で定数に漸近するポテンシャル関数をもつ１次元のスカラーフィールド方程式の解の存在と非存在の条件がわかった。本年度の研究ではポテンシャル関数が負の遠方と正の遠方でポテンシャル関数が漸近する定数は同じ値としていたが、今後は「ポテンシャル関数が負の遠方と正の遠方で異なる定数に漸近するときの非自明解の存在と非存在の考察」を行う。
これらの研究は当初の研究計画には明示的には含まれていなかったが、重要な研究対象である。
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