| 研究課題/領域番号 |
20K03757
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
池田 幸太 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (50553369)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 応用数学一般 / 中心多様体縮約理論 / 時間遅れ微分方程式 / 応用数学および統計数学関連 / 中心多様体理論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
脳内では神経細胞であるニューロンが情報の伝達と処理の役割を担っている。多数存在するニューロンは互いに結合し、神経インパルスの形成により情報の入出力を行う。本研究課題では特に２つの現象に着目し、数理モデルの解析を行う。まず、ニューロンの発火における活動電位の伝播を記述する反応拡散系を対象とし、スパイクトレインを表すパルス型進行波解の性質の解明を目指す。次に、脳波の一種であるガンマ波に着目する。その性質を再現するフォッカープランク方程式を取り上げ、パルス型の空間形状を持つ時間周期解の性質を数理的に明らかにすることで、ガンマ波の性質を解明する。
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| 研究実績の概要 |
研究課題1では、パルス解の集団運動に関する中心多様体収縮理論の確立とその応用が目標である。解析においては、縮約方程式が有益である一方で、多粒子系固有の難しさがある。このような場合、粒子数を無限大に取り平均場近似を適用することで問題を解決できる。このアプローチを確立するために、2023年度には、交通渋滞を再現する多粒子系モデルとしてよく知られるOVモデルを例に挙げ、渋滞相の数理的特徴を解明した。先行研究で既に平均場方程式が導かれているため、1次元領域において周期境界条件を考慮し、この方程式における周期進行波解の存在を証明した。OVモデルに含まれるシグモイド関数がOV関数としてよく用いられるが、その非線形性から、双安定系の反応拡散方程式と同等の数理構造を持つことが明らかになった。これにより、ヘテロクリニックサイクルの存在を証明し、目標とする周期進行波解の構築に成功した。現在、この研究結果を研究論文としてまとめている。
研究課題2に関しては、パルスの位置を表す関数が満たす時間遅れ項付き微分方程式における時間周期解の存在を保証することが最初の目標である。これまでの解析から、特異摂動解として特徴づけられるノコギリ型の時間周期解が現れることがわかっていた。しかし、この解が満たすべき方程式には時間遅れ項が含まれるため、解析が難しい。そのため、時間遅れ項を自励系の非線形項として再解釈する新たな方法を採用することにした。これにより、方程式を通常の力学系として捉えることが可能になり、解析が容易になるだろう。現在、この新たなアプローチを用いて時間周期解を構築するための解析を行っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究課題１に関して、2023年度に得られた研究結果は、中心多様体理論の適用において大きな進展をもたらすものと考えている。縮約方程式は元の方程式と比べて簡略化されているが、依然として多粒子系の形式を取るため、解析は依然として困難な部分がある。これを克服する1つの方法は平均場近似の適用である。実際、平均場方程式では周期進行波解の構築が厳密に行えるなど、その有用性が証明されている。したがって、得られた縮約方程式が望ましい現象を再現できているかどうかは、平均場方程式を通じて調査することが可能なはずだ。このように、中心多様体理論の適用において、一定の成果が得られたと言える。
研究課題２については、特異摂動解として捉えられる解の発見により、想定していなかった新たな局面に遭遇している。しかしながら、時間遅れ項付きの方程式における特異摂動法の適用は一般に難しい。そこで、時間遅れ項を異なる観点から捉え、非線形項で表現するという革新的な方法を提案することに成功した。これにより、対象とする方程式は通常の力学系と同様の構造を持つため、既存の理論、たとえば特異摂動法の適用などが容易になる。また、時間遅れ項が具体的に系においてどのような役割を果たしているのかを、定量的に評価することも可能となるだろう。このように、特異摂動解の構築という具体的な目標だけでなく、時間遅れ方程式における新たな理論の確立や、時間遅れ項に対する新たな視点を提供するなど、大きな影響が期待される結果が得られた。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究課題1において、樟脳粒モデルやFHNモデルの縮約方程式に対する平均場方程式を導出する。その後、2023年度の研究で行ったように、OVモデルの平均場方程式における進行波解の存在を示す手法を用い、平均場方程式における進行波解の存在を示すことを目指す。この解析を通じて、モデルの数理構造の違いが渋滞相に及ぼす影響を明らかにする。
研究課題２に関して、時間遅れ項を非線形項で表現する方法の理論的枠組みを整備する。その後、特異摂動解として捉えられる解の構成を行う。特に、周期解の存在を証明し、研究課題2において主として対象としてきた近似方程式における最終目標の達成を目指す。
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