| 研究課題/領域番号 |
20K03760
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 (2022)
国立研究開発法人理化学研究所 (2020-2021) |
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研究代表者 |
吉脇 理雄 大阪公立大学, 数学研究所, 特別研究員 (90613183)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2021年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2020年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 位相的時空間解析 / 2パラメータパーシステントホモロジー / ノイズ安定性 / 導来同値 / Auslander-Reitenクイバー / 区間表現 / ２パラメータパーシステントホモロジー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
位相的データ解析はデータ解析の中でも「データの形」に着目したものであり，その中でもパーシステントホモロジーを用いた手法は形の大きさなどの定量的性質を調べることができる．従来のパーシステントホモロジーの理論は１パラメータに対するもので，代数的な困難さが原因で時空間といった２パラメータデータにそのままでは適用できない．本研究の目的は位相的時空間解析にむけて必須の理論である２パラメータパーシステントホモロジーのデータのノイズに対する安定性を明らかにすることであり，その特徴は代数的な困難さを導来同値を用いて突破することにある．
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は位相的時空間解析を確立するのに必須である2パラメータパーシステントホモロジーについて、データのノイズに対する安定性を明らかにすることである。より具体的には、導来同値を用いてより取り扱いやすいものへと帰着させる考えに基づいて、安定性の代数部分である代数的安定性定理を以下のように明らかにすることであった。(い) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象で代数的安定性定理を示すこと。(ろ)代数的安定性定理は、導来同値のもとで伝播すること。(は)代数的安定性定理は、導来圏から制限可能であること。(に) 2パラメータパーシステントホモロジーと導来同値な対象について、その導来圏へ(い)の結果を拡張すること。
2020年度は(い)、(ろ)、(は)を達成し、このエッセンスを含む論文が今年度オンラインで出版された（doi.org/10.1142/S1793525322500091）。昨年度は引き続いて(に)について取り組み、一部の(ほ)2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、代数的安定性定理を示した。今年度はこれを全体に拡張するための策を改めて検討した結果、「（へ）区間表現の性質を明らかにすること」が目的の達成のために必要となると判断した。区間表現は１パラメータパーシステントホモロジーでは出力であるパーシステンス図を与える。２パラメータでは一致しないが、区間表現による近似の可能性が示されており、その性質を明らかにすることが本研究に寄与すると考えたためである。上記（へ）について研究を行い、一部をarXiv:2207.03663にて発表済み。国内の研究集会や国際会議でも報告を行った。
新たな策の検討及び他研究者との交流の場として、オンライン研究集会（https://sites.google.com/view/ph-repn2023/）を主催した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
計画では、二年目に「2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し，ノイズに対して安定であることを明らかにする」こと、すなわち、研究実績の概要で述べた(に)とその結果として(ほ)を得ることに取り組むこととなっていた。三年目はそれを元に(b)既存研究との比較により、それらを包括した研究となっていることを明らかにする計画であった。昨年度は(に)(結果として(ほ)も)一部を達成できたものの、（に）全体への拡張に困難を伴っていた。そのため今年度は研究集会を開催するなど新たな策を検討、その策について研究を行う必要が出てきた。すなわち、(に)の困難さを突破するために考えていた具体策「直接的に導来圏の対象を特徴付けを行うことと，導来圏の分解の道具である recollement を用いること」に加えて、新たに「（へ）区間表現の性質を明らかにすること」が必要となった。したがって総体として遅れていると判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
計画の2年目以降は(a)2パラメータパーシステントホモロジーの新たな距離を提案し、ノイズに対して安定であることを明らかにすること、(b)既存研究との比較により、それらを包括した研究となっていることを明らかにすることを順次行う計画であった。研究集会で得た知見や（へ）の研究を進めることで、(a)での遅れを取り戻し、(b)へ進める。 すなわち、（へ）の区間表現の研究を用いて(に)2パラメータパーシステントホモロジーの導来同値な対象について代数的安定性定理が導来圏へ拡張できることを明らかにすることを一部ではなく全体まで広げることを試み、既存研究との比較を行う。なお、文献にあたるだけでなく、今年度も研究集会を開催するなどして、他研究者との交流を行っていく。
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