| 研究課題/領域番号 |
20K11689
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分60020:数理情報学関連
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| 研究機関 | 信州大学 |
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研究代表者 |
藤原 洋志 信州大学, 学術研究院工学系, 准教授 (80434893)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | アルゴリズム / 数理計画法 / 最適化 / 情報基礎 / 応用数学 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、様々な問題に共通する数理的構造に焦点を当て、数理計画法を活用して総合的なアルゴリズム設計理論を体系化する。具体的には次の 3 つの側面から取り組む。
(A) 数理計画法に基づいたアルゴリズム精度評価の標準化
(B) 数理計画問題への定式化によるアルゴリズム設計技法の深化
(C) 主双対法の拡張による精度保証付きアルゴリズム設計
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| 研究実績の概要 |
ナップサック問題は、単一のナップサックに、サイズの制約を守りつつ価値和が最大となるようにアイテムを詰める問題である。Iwama と Taketomi [ICALP 02]は派生問題として、アイテムが逐次与えられ、かつナップサックに一度詰めたアイテムの除去を許す、オンライン除去可能ナップサック問題を提案した。応用例として、ビッグデータを対象とした効率的なサンプリングが挙げられる。本研究ではオンライン除去可能ナップサック問題に対し、以下の2つの側面から研究を行ってきた。
(1) 我々は、ナップサックとアイテムサイズをともに整数値とする場合を研究してきた。Iwama と Taketomi が解析した、本問題の難しさを表す指標であるところの競合比は、アイテムサイズが任意の実数値をとることを前提として導かれた。しかしそれでは、有限精度の有理数を扱う計算機上での性能評価とは乖離が生じる。我々はナップサックのサイズをパラメータとして固定した場合に対して、それぞれタイトな競合比を求めた。この成果を電子情報通信学会英文論文誌Aに論文投稿し、採録された。
(2) 我々は、アイテムの除去に制約を課す問題を考察してきた。元の Iwama と Taketomi のオンライン除去可能ナップサック問題では、ナップサック内の任意のアイテムを除去することが許された。この問題の競合比は 1.618 である。これに対し我々は、キュー型ルールを設定する。すなわち、ナップサックに最も早く詰められたアイテムのみを除去できる、というルールである。我々はキュー型ルールのもと、問題の競合比がちょうど 2 であることを証明した。この成果を2022年度夏のLAシンポジウムにて発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
(1) ナップサックとアイテムサイズをともに整数とする場合、ナップサックサイズに関する3つの場合分けにしたがい、問題の競合比を陽な形に表すことに成功した。当初我々は、ナップサックサイズが大きくなるにつれて、競合比は単調増加するものと予想していた。しかし解析の結果、全体としては増加していくものの、単調ではないことが明らかになった。つまり、ナップサックサイズが大きくなると相対的にアイテムサイズが小さくなり問題が難しくなる、という直感に反する結果である。これは通常よく行われる、競合比によるアルゴリズム性能解析の限界の一端を示唆している。
(2) アイテムの除去に制約を課す問題に関しては、我々はすでに、ナップサックに最も遅く詰められたアイテムのみを除去できるスタック型の問題について、問題の競合比が 2 であるという結果を発表している[笹田、藤原、山本 冬のLAシンポジウム2021年度]。本研究で取り上げたキュー型の問題についても、問題の競合比は 2 であることが分かった。しかし競合比の値が同じく 2 で一致していても、その背後にある理論は完全に別物である。実際、いかなるアルゴリズムの競合比も 2 であることを証明するにあたって、キュー型においては、スタック型の場合とまったく異なるアイテム列を用意しなければならなかった。このことによって、アイテムの除去ルールが問題の本質を左右することが実証された。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 我々は、ナップサックとアイテムサイズをともに整数とするオンライン除去可能ナップサック問題の競合比を明らかにした。その結果を数理的側面から読み解くと、Beatty 数列と関連することが分かった。これは先に述べたように、問題の競合比がナップサックサイズに関する3つの場合分けにしたがって表されることに起因する。Beatty 数列についてはすでに膨大な研究があるので、それを生かす取り組みをしていく。また、(2)で説明している除去ルールを追加する場合に競合比がどうなるか、大変興味深い。
(2) 我々は発展研究として、除去可能なアイテム添え字を返す一般化な関数として定式化することを考えている。すなわち先に述べたキュー型やスタック型を包含するように、除去ルールの一般形を構築し、そのうえでアルゴリズム性能限界を表す競合比を解析する。我々はすでに、そのための手法として、除去可能なアイテム添え字を返す一般化な関数として定式化する案を考えている。これを用いると、キュー型やスタック型以外にも、例えばナップサック内のサイズ最小のアイテムのみ除去を許す、などを記述可能である。まずはこの案を推し進め、競合比の解析を行っていく。
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