| 研究課題/領域番号 |
20K14281
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 熊本大学 (2021-2022)
東京大学 (2020) |
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研究代表者 |
藤田 直樹 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (40866357)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | トーリック退化 / クラスター代数 / ストリング多面体 / 半トーリック退化 / Gleizer-Postnikov パス / Newton-Okounkov 凸体 / リチャードソン多様体 / 旗多様体 / marked chain-order 多面体 / 完全可積分系 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
Newton-Okounkov 凸体は代数幾何学及びシンプレクティック幾何学における重要な不変量であり, その理論を用いることでトーリック退化や完全可積分系などの重要な幾何学的概念が構成される. 一方で旗多様体などの特殊多様体に入るクラスター構造も, ミラー対称性の文脈からトーリック退化を構成する一般的な枠組みを定めている.
本研究ではクラスター構造を用いて旗多様体の Newton-Okounkov 凸体に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学の研究へ応用する.
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的はクラスター代数の理論を用いて旗多様体のトーリック退化に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学へ応用することである. 今年度の研究では後半の研究の目標である旗多様体のクラスター構造から生じる完全可積分系がトロピカル変異によって移り合うかどうかを解明することはまだできていないが, 旗多様体のトーリック退化が誘導するシューベルト多様体の半トーリック退化について考察し次の結果を得た.
Morier-Genoud はストリング多面体から生じる旗多様体のトーリック退化がシューベルト多様体の半トーリック退化を誘導していることを証明した. いくつかの特別なストリング多面体の場合には Morier-Genoud による半トーリック退化の退化先を具体的に記述することができ, それは Kogan 面や pipe dream などのシューベルト・カルキュラスの理論における重要な概念と密接に関係している. 今年度の研究では A 型旗多様体の場合に, これらの記述を一般のストリング多面体まで拡張することに成功した. A 型旗多様体のストリング多面体は Gleizer-Postnikov パスという組合せ論的対象を用いて具体的に記述することができる. 報告者は今年度の研究において, どの Gleizer-Postnikov パスがシューベルト多様体の半トーリック退化の退化先と対応するのかを具体的に決定した. この結果は Gleizer-Postnikov パスを用いたシューベルト・カルキュラスの新しいモデルに繋がるものであり, 本研究の更なる発展が期待できる.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
今年度の研究で得られたシューベルト多様体の半トーリック退化の具体的な記述は, 本研究のシューベルト・カルキュラスへの応用に繋がるものである. この結果を昨年度の研究で構成した, 旗多様体のクラスター構造から生じるシューベルト多様体の半トーリック退化まで拡張することができれば, シューベルト・カルキュラスとクラスター代数の関係を明らかにすることに繋がると期待できる.
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度は引き続き旗多様体のクラスター構造から生じる完全可積分系がトロピカル変異によって移り合うかどうかを解明する. クラスター代数の理論から定まる超ポテンシャル関数を完全可積分系と比較しながら研究を進める.
並行して旗多様体のクラスター構造から生じるシューベルト多様体の半トーリック退化について考察し, その具体的な記述を求める. A 型旗多様体の場合にはクラスター代数の理論から定まる超ポテンシャル関数を用いた多面体の具体的な記述が存在するため, それを用いて今年度のストリング多面体に関する結果の拡張を試みる.
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