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クラスター構造を用いた旗多様体のトーリック退化の研究

研究課題

研究課題/領域番号 20K14281
研究種目

若手研究

配分区分基金
審査区分 小区分11010:代数学関連
研究機関熊本大学 (2021-2023)
東京大学 (2020)

研究代表者

藤田 直樹  熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (40866357)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
キーワードNewton-Okounkov 凸体 / クラスター代数 / トーリック退化 / ユニモジュラー同値 / トロピカル変異 / ストリング多面体 / 半トーリック退化 / Gleizer-Postnikov パス / リチャードソン多様体 / 旗多様体 / marked chain-order 多面体 / 完全可積分系
研究開始時の研究の概要

Newton-Okounkov 凸体は代数幾何学及びシンプレクティック幾何学における重要な不変量であり, その理論を用いることでトーリック退化や完全可積分系などの重要な幾何学的概念が構成される. 一方で旗多様体などの特殊多様体に入るクラスター構造も, ミラー対称性の文脈からトーリック退化を構成する一般的な枠組みを定めている.
本研究ではクラスター構造を用いて旗多様体の Newton-Okounkov 凸体に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学の研究へ応用する.

研究実績の概要

本研究の目的はクラスター代数の理論を用いて旗多様体のトーリック退化に対する統一的な理解を与え, シンプレクティック幾何学へ応用することである. 今年度の研究では後半の研究の目標である旗多様体のクラスター構造から生じる完全可積分系がトロピカル変異によって移り合うかどうかを解明することはまだできていないが, 旗多様体のクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体を階数が小さい場合に分類し次の結果を得た.

旗多様体のクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体はシードと呼ばれるデータごとに1つ与えられ, シードを取り換えると対応する Newton-Okounkov 凸体は頂点の個数が変わるなどの異なる組合せ論的性質を持つ. そのためユニモジュラー同値という多面体の組合せ論的性質を保つ同値関係によって, クラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体たちを分類することは重要な問題である. ユニモジュラー同値な多面体に対応するトーリック多様体は同型であるため, この問題は旗多様体のクラスター構造から生じるトーリック退化の退化先を分類する問題とみなすこともできる.

報告者は Sungkyunkwan University の Yunhyung Cho 氏, 大阪大学の東谷章弘氏, および Chungbuk National University の Eunjeong Lee 氏との共同研究において, 旗多様体の階数が小さい場合にこの問題に取り組んだ. 具体的には階数3のA型旗多様体の場合にクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体を分類し, Newton-Okounkov 凸体のユニモジュラー同値類を保つような involution であって, ディンキン図形の involution から誘導されるものとは本質的に異なるものが存在することを見出した. この involution は一般の階数の場合にもクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体を分類するための手がかりになると期待できる.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

今年度の研究で得られた旗多様体のクラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体の階数が小さい場合の分類は, 旗多様体のトーリック退化に対する統一的な理解に繋がるものである. 一方で予定していたケルン大学 (ドイツ) への研究訪問が年度末となったため, 研究計画の見直しが必要となり若干の遅れが生じている.

今後の研究の推進方策

次年度は引き続き旗多様体のクラスター構造から生じる完全可積分系がトロピカル変異によって移り合うかどうかを解明する. クラスター代数の理論から定まる超ポテンシャル関数を完全可積分系と比較しながら研究を進める.

並行して旗多様体のクラスター構造から生じるシューベルト多様体の半トーリック退化について, 超ポテンシャル関数との関係を考察し, ストリング多面体に関する前年度の結果の拡張を試みる.

報告書

(4件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 研究成果

    (32件)

すべて 2024 2023 2022 2021 2020

すべて 雑誌論文 (5件) (うち国際共著 3件、 査読あり 5件、 オープンアクセス 3件) 学会発表 (27件) (うち国際学会 16件、 招待講演 23件)

  • [雑誌論文] Newton-Okounkov polytopes of flag varieties and marked chain-order polytopes2023

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 雑誌名

      Transactions of the American Mathematical Society, Series B

      巻: 10 号: 15 ページ: 452-481

    • DOI

      10.1090/btran/142

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Fano and Weak Fano Hessenberg Varieties2023

    • 著者名/発表者名
      Hiraku Abe, Naoki Fujita, Haozhi Zeng
    • 雑誌名

      Michigan Mathematical Journal

      巻: 73 号: 3 ページ: 511-555

    • DOI

      10.1307/mmj/20205971

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Schubert calculus from polyhedral parametrizations of Demazure crystals2022

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 397 ページ: 108201-108201

    • DOI

      10.1016/j.aim.2022.108201

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Newton-Okounkov bodies of flag varieties and combinatorial mutations2021

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita and Akihiro Higashitani
    • 雑誌名

      International Mathematics Research Notices

      巻: ー 号: 12 ページ: 9567-9607

    • DOI

      10.1093/imrn/rnaa276

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Algebraic and geometric properties of flag Bott-Samelson varieties and applications to representations2020

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita, Eunjeong Lee and Dong Youp Suh
    • 雑誌名

      Pacific Journal of Mathematics

      巻: 309 号: 1 ページ: 145-194

    • DOI

      10.2140/pjm.2020.309.145

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Toric and semi-toric degenerations arising from cluster algebras2024

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Workshop on Torus Actions in Symplectic and Algebraic Geometry
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Combinatorics of string polytopes in type C2024

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      広島岡山代数学セミナー
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Combinatorics of string polyropes for symplectic Lie algebras2023

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      Algebraic Lie Theory and Representation Theory 2023
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] Combinatorics of skew mitosis operators2023

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      変換群の幾何とトポロジー
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Introduction to canonical bases and crystal bases2023

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Topology and Geometry of Torus actions and related Combinatorics (TGTC) Summer Seminar 2023 in Osaka
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Toric degenerations and Newton-Okounkov bodies arising from cluster algebras2023

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Summer School on Cluster Algebras 2023
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] シューベルト・カルキュラスと結晶基底2023

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      第49回変換群論シンポジウム
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Schubert calculus on symplectic Gelfand-Tsetlin polytopes2023

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Toric Topology 2023
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] シューベルト・カルキュラスと凸多面体2023

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      日本数学会2023年度年会・代数学分科会・特別講演
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Toric degenerations and Newton-Okounkov bodies of flag varieties arising from cluster structures2023

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Advances in Cluster Algebras 2023
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 既約表現の essential 基底と Newton-Okounkov 凸体2022

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      日本数学会2022年度秋季総合分科会・代数学分科会
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] Schubert calculus and toric degenerations of flag varieties2022

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Toric Degenerations
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Semi-toric degenerations of Richardson varieties arising from cluster structures on flag varieties I, II2022

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Ensemble of Algebra and Geometry Seminar
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] クラスター代数とトーリック退化2022

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      大阪組合せ論セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Toric degenerations of Schubert varieties arising from cluster structures2022

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Quantum Groups and Cluster Algebras
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Schubert calculus and string polytopes2022

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      KTH Combinatorics Seminar
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Marked chain-order polytopes as Newton-Okounkov bodies2021

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Cologne Algebra and Representation Theory Seminar
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Newton-Okounkov polytopes of flag varieties and marked chain-order polytopes2021

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      Algebraic Lie Theory and Representation Theory 2021
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [学会発表] Semi-toric degenerations of Schubert varieties arising from cluster structures on flag varieties2021

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      Infinite Analysis 21 (IA21) Workshop Around Cluster Algebras
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Semi-toric degenerations of Richardson varieties from cluster algebras2021

    • 著者名/発表者名
      Naoki Fujita
    • 学会等名
      IBS-CGP Symplectic Monday Seminar
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Newton-Okounkov bodies arising from cluster structures and mutations on polytopes2021

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      Legendrians, Cluster algebras, and Mirror symmetry
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Introduction to crystal bases I, II / Newton-Okounkov bodies of flag and Schubert varieties I, II2021

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      Combinatorics on Flag Varieties and Related Topics 2021
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Introduction to Newton-Okounkov bodies from cluster algebras I, II2021

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      QSMS Winter school on mirror symmetry and related topics
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] クラスター構造から生じる Newton-Okounkov 凸体と付随するトーリック退化2021

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      日本数学会2021年度年会・トポロジー分科会・特別講演
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Combinatorial mutations on representation-theoretic polytopes2020

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      組合せ論的表現論の最近の進展
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
  • [学会発表] Schubert calculus from polyhedral parametrizations of Demazure crystals2020

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      南大阪代数セミナー
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Newton-Okounkov bodies arising from cluster structures2020

    • 著者名/発表者名
      藤田 直樹
    • 学会等名
      Online Algebraic Geometry Seminar
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2020-04-28   更新日: 2024-12-25  

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