| 研究課題/領域番号 |
20K14290
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
飯島 優 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 研究員 (00781197)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | 双曲的曲線 / 配置空間 / 双曲的曲線のモジュライスタック / 写像類群 / モノドロミー充満 / 準モノドロミー充満 / 高次円単数 / グロタンディーク予想 / 普遍外モノドロミー表現 / 双曲的曲線の配置空間 / 遠アーベル幾何 / 組み合わせ論的遠アーベル幾何 / 外ガロア表現 / 幾何学的外モノドロミー表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は, 群論的に数論幾何学的対象を捉え研究する遠アーベル幾何における中心的結果を, 数論的に重要な無限次代数体上のできるだけ広いクラスの双曲的曲線に拡張することを目的としている. 本研究の特色は, 対象の双曲的曲線の副 p 基本群への外作用である副 p 外ガロア表現そのものの数論的性質を調べるだけではなく, その副 p 外ガロア表現の像に含まれる幾何学的部分に着目して研究を進める点にある.
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| 研究実績の概要 |
副有限グロタンディーク・タイヒミューラー群 (射影直線から3点取り除いて得られる双曲的曲線の配置空間の副有限基本群の外部自己同形群にほぼ一致する群) について知られている群論的性質、特に副有限グロタンディーク・タイヒミューラー群の持つ非分解性が1点抜き楕円曲線の配置空間の副有限基本群の外部自己同形群でも同様に成り立つか考察した。副有限グロタンディーク・タイヒミューラー群の非分解性の証明においてフロベニウス写像が重要な役割を果たしていた箇所を、1点抜き楕円曲線の写像類群に含まれるデーン捻りに置き換えることで考察を進めた。ほとんどそのままで上手く動く部分も多かったが、捩れ点抜き楕円曲線の副有限基本群の外部自己同形群と1点抜き楕円曲線のモジュライスタックの関係の考察等、1点抜き楕円曲線のモジュライスタックに関する結果が完全に証明できず、非分解性を決定することができなかった。ただ、この考察を通じて、1点抜き楕円曲線のモジュライスタックの副有限基本群や1点抜き楕円曲線の配置空間の副有限基本群の外部自己同形群の研究において、それらの副有限群を直接調べるだけではなく、捩れ点抜き楕円曲線の副有限基本群への楕円曲線のモジュライスタックの副有限基本群の外モノドロミー表現等、1点抜き楕円曲線のモジュライスタックの被覆の研究の重要性を認識することができた。
研究発表としては、前年度までに投稿した星裕一郎氏との共著を含むいくつかの研究論文が受理されたほか、双曲的曲線のモジュライスタックの外モノドロミー表現に関する講演を行なった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
1点抜き楕円曲線の配置空間の副有限基本群の外部自己同形群の群論的性質について、有意義と思われる観察はいくつか得られたものの、その非分解性に対して完全に証明を与えることができなかったため。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究の下、引き続き、双曲的曲線のモジュライスタックの幾何学的副l外モノドロミー表現、モノドロミー充満な双曲的曲線及びモノドロミー充満な有理点の研究を進める。特に、令和5年度に得られた考察から、捩れ点抜き楕円曲線の副有限基本群への1点抜き楕円曲線のモジュライスタックの副有限基本群の外モノドロミー表現の重要性が認識された。そのため、この外モノドロミー表現についての考察を進め、1点抜き楕円曲線の配置空間の副有限基本群の外部自己同形群の研究に応用する。
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