| 研究課題/領域番号 |
20K14294
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 愛知県立大学 |
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研究代表者 |
田坂 浩二 愛知県立大学, 情報科学部, 准教授 (30780762)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2022年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 多重ゼータ値 / 有限多重ゼータ値 / モジュラー形式 / 多重Eisenstein級数 / Broadhurst-Kreimer予想 / Kaneko-Zagier予想 / q類似 / 金子-Zagier予想 / 有限代数的数 / 多重モジュラー値 / レベルNの多重ゼータ値 / q-supercongruence / 混合Tateモチーフの周期 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
近年，多様な背景のもとに導入された異なるタイプの多重ゼータ値の間の関係性に関する研究が活発に行われている。本研究では，多重ゼータ値とモジュラー形式 (の周期) との関係を示唆する Broadhurst-Kreimer 予想，多重ゼータ値の mod p 有限類似と多重ゼータ値の関係を記述する金子-Zagier 予想，およびレベル N の多重ゼータ値および多重モジュラー値を用いた混合 Tate モチーフの周期の解明といった３つの課題に取り組み，主に代数的なアプローチによる各々の課題の相互発展および統一理論の構築を目指す。
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| 研究実績の概要 |
本研究課題で取り組んだテーマは主に二つで，一つはBroadhurst-Kreimer予想解明への取り組みとして多重ゼータ値とモジュラー形式の関係に関する研究，もう一つはKaneko-Zagier予想に関連する有限多重ゼータ値の研究である。前者では，Brown (2012) による純奇多重ゼータ値予想（とある多重ゼータ値で生成されるベクトル空間の次元予想であって，多重ゼータ値の関係式とモジュラー形式の対応を示唆する予想）の部分的な解決（ただし，深さ次数化多重ゼータ環の構造に関する，Broadhurst-Kreimer予想の精密化予想を仮定する）や，モジュラー形式と2重ゼータ値を直接結びつけるレベル付き2重Eisenstein級数に関する次元および明示関係式に関する予想の定式化を行った。予想の直接的な解明には至らなかったが，多重ゼータ値とモジュラー形式の関係に関する研究を深掘りするだけでなく，新たな方向性を提示する結果といえる。
有限多重ゼータ値の研究では，共同開発したq類似を援用する手法を飛躍させることができた。具体的には，Mordell-Torhheim型の多重ゼータ値やレベル付き多重ゼータ値に適用することによりKaneko-Zagier予想の類似・拡張を定式化しており，また高次合同式への拡張（一般化Kaneko-Zagier予想）に適用可能なq類似の理論を発展させている。Kaneko-Zagier予想については，小森氏によるUnifiedの理論をMordell-Torhheim型に拡張する方向性の研究も行った。派生して，代数的数の有限類似も考察し，素数の素イデアル分解法則への応用を見出した。多重ゼータ値に端を発する理論が古典的な数論の問題に応用できたことは意義深い。今年度は，この代数的数の有限類似の具体例の計算を進め，重さ1のモジュラー形式との関係などを調べた。
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