| 研究課題/領域番号 |
20K14295
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 群馬大学 (2021-2022)
慶應義塾大学 (2020) |
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研究代表者 |
大下 達也 群馬大学, 共同教育学部, 准教授 (70712420)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 岩澤理論 / イデアル類群 / 楕円曲線 / セルマー群 / L関数の特殊値 / 新谷生成類 / 整数論 / Selmer群 / Galoisコホモロジー / Euler系 / 高次Fittingイデアル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
岩澤理論は、与えられた素数pに対して、「p進の世界」において、整数論における代数的な対象と解析的な対象の間の関係を研究する分野である。本研究では、岩澤理論における重要な不変量である特性イデアルよりも精密な情報を持つ、高次Fittingイデアルと呼ばれる不変量に着目して、次の目的の達成を目指す。
(1) 従来よりも多様な代数的対象に対して、p進L関数やEuler系等の解析的対象を用いて高次Fittingイデアルを記述する理論を確立する。
(2) Euler系のKolyvagin導分の明示的な表示に関する研究や、解析的対象同士の比較を行う研究を通して、解析的対象をより明示的に扱う理論を構築する。
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| 研究実績の概要 |
前年度から引き続いて、主に下記の2つの研究に従事した。
(1) イデアル類群の漸近挙動につい関する平之内俊郎氏との共同研究
(2) 総実代数体Fに付随する代数的トーラスの族Tとポリログ、新谷生成類に関する坂内健一氏、戸次鵬人氏、萩原啓氏、山田一紀氏、山本修司氏との共同研究
(1)の研究においては、前年度発表した「楕円曲線の素数冪ねじれ点に沿った拡大塔」に関して得られた結果をまとめたプレプリントを学術誌に投稿した。当該論文はレフェリーの指示に従った改訂を経てアクセプトされた（現在印刷中）。更に、本年度からは「具体例」の方面から新たな展開を模索するために、平之内氏と具体的な楕円曲線の場合における「双対精セルマー群の岩澤加群の岩澤不変量」の計算機を用いた計算に関する先行研究とsagemathを用いた計算例の検討を開始した。また、前年度の研究からの課題であった楕円曲線が乗法的還元を持つような素数における技術的な条件の緩和についても検討した。(2)の研究では、1本のプレプリントを公開し、学術誌に投稿した。このプレプリントでは、ポリログ類のHodge実現を（トーラスの族Tから原点を除いたものの総実代数体Fの乗法群の総正部分の作用に関するLog層係数の同変Deligne-Beilinsonコホモロジーの元として）構成して、そのde Rham実現が新谷生成類（FのLerchゼータ関数の非正整数での値と関係する同変de Rhamコホモロジー類）と一致することを示した。更に同変plecticコホモロジーの理論に関する作業仮設の下でポリログ類と、正の整数におけるFのLerchゼータ関数の値およびHecke L関数の総非臨界値の関係の関係について検討した。
上記の他にも、本年度は2021年度整数論サマースクール「モジュラー曲線と数論」の報告集の執筆も行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度もある程度、新型コロナウイルスの感染拡大による研究の制約はあったが、Zoomを用いたオンラインでの研究打ち合わせ等を通して円滑に研究を進めることが出来た。平之内氏との共同研究においては、投稿した論文がアクセプトされ、今後の展開についても2つの観点から検討を進めることが出来た。また、坂内氏らとの共同研究においても、１本のプレプリントを発表し、学術誌に投稿することが出来た。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後もこれまでの研究を引き継いで、実施していく予定である。特に、イデアル類群の漸近挙動につい関する平之内氏との共同研究については、平之内氏と議論を進めてきた「計算機による具体例の計算」と「乗法的還元を持つような素数における技術的な条件の緩和」という2つの問題について、さらなる検討を重ねていきたいと考えている。また、これまでの研究とは別に、非可換岩澤理論におけるオイラー系の研究および非可換岩澤主予想の精密化に関する研究も実施したいと考えている。この研究の着手にあたり、関連する諸問題について、専門家と検討を行う予定である。
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