| 研究課題/領域番号 |
20K14301
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 福岡工業大学 (2023)
東京大学 (2020-2022) |
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研究代表者 |
工藤 桃成 福岡工業大学, 情報工学部, 助教 (10824708)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 計算代数幾何学 / 代数曲線 / 正標数 / 超特異曲線 / 超特別曲線 / Jacobi多様体 / 有理点 / 同種写像暗号 / 高種数曲線 / Howe曲線 / 自己同型群 / アーベル多様体 / 同種写像 / 正則微分形式 / グレブナー基底 / 計算代数 / 暗号応用 / 超特異アーベル多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
数学とその応用領域において，曲線は古くから研究されてきた重要な研究対象であり，その中でも特に代数曲線は，代数幾何学・整数論およびその応用分野（暗号理論など）で主に研究されている．
本研究では，代数曲線を分類する上で特に重要な役割を果たす，超特異曲線と呼ばれる代数曲線の（非）存在性の決定を主課題としており，理論・計算・応用を含む多方面からのアプローチによってその解決を目指している．
本研究で得られる超特異曲線は，量子計算機による解読に耐性を持つ新たな暗号方式のパラメータとしての利用が期待されているため，本研究の完成により，代数学の諸分野のみならず情報セキュリティに対する貢献も可能となる．
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| 研究成果の概要 |
正標数の代数曲線の存在・非存在の決定および数え上げ，関連する計算代数幾何学のアルゴリズム群の整備，さらには同種写像暗号の安全性解析への応用，の研究を行った。特に重要な結果として，超楕円曲線のファイバー積に双有理同値な曲線クラス（一般化Howe曲線と呼ばれる）に着目し，その定義方程式の明示的な記述や，Jacobi多様体間の同種写像の計算アルゴリズムを与えた．さらに，一般化Howe曲線を利用することで，種数3，4，5の各場合において，超特別曲線を高速に探索または全列挙するアルゴリズムを構成した．研究期間全体を通じて，当初の予定以上に多くの研究成果（雑誌論文14件，学会発表27件）が得られた．
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
本研究で開発した計算代数幾何学のアルゴリズムは，代数曲線の研究のみならず他の代数学分野においてもツールとしての利活用が期待されるだけでなく，同種写像暗号や多変数多項式暗号などの量子計算機の解読にも耐性をもつ暗号（耐量子計算機暗号）の安全性解析に応用される．また，本研究で得られた超特別曲線は，同種写像暗号において安全なパラメータとしての利用が期待されるなど，情報セキュリティ分野への貢献にも繋がる．
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