指数・スペクトルの局所化と非可換幾何学の新展開

• 研究課題/領域番号: 20K14307
• 研究種目: 若手研究
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 山下 真由子 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30866249)
• 研究期間 (年度): 2020-04-01 – 2024-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2023年度)
• 配分額: 4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円); 2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円); 2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円); 2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円); 2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
• キーワード: 数理物理学 / 代数トポロジー / 場の理論 / ホモトピー論 / 指数定理 / 変形量子化 / 幾何学的量子化 / 場の量子論 / 指数理論 / スペクトル理論 / 非可換幾何学

研究開始時の研究の概要

本研究では, 楕円型微分作用素のFredholm指数に対するAtiyah-Singerの指数定理にはじまる指数理論の研究, その中でも特に非可換幾何学とよばれる, 作用素環論の手法を用いる立場からの研究を行う. 具体的な目標は以下のとおりである. 第一に, 指数やスペクトルの「局所化」が現れる様々な状況に対して統一的なアプローチを与え, 数理物理学や微分幾何学への新たな応用を見出す. 第二に, 測度付き距離空間の収束の理論の観点からの研究と組み合わせることで, 非可換幾何学と他分野との融合の可能性を見出すことを目指す.

研究実績の概要

2023年度は、代数トポロジー・ホモトピー論と、素粒子物理学の関連についての研究を進めた。前年度に引き続き、Topological Modular Forms (TMF)と呼ばれる一般コホモロジー理論を用いた研究を行った。一般コホモロジー理論TMFは、現代ホモトピー論の「金字塔」ともいえる、純粋数学的に重要な研究対象である。一方、「TMFが2次元超対称場の理論を分類する」というSegal-Stolz-Teichner予想を通じて、理論物理学とも深く関係している。
物理学者の立川裕二氏との共同研究において、TMFのAnderson自己双対性の超弦理論的解釈とその応用についての研究を2022年度に開始していたが、その結果をプレプリントにまとめて現在投稿中である。また、この研究で得られた知見を元に、数理物理学者であるTheo Johnson-Freyd氏との共同研究を行った。TMFは「576周期性」という興味深い性質を持つことが数学的事実として知られているが、それに対する場の理論的な解釈は知られておらず、大きな謎の一つとされていた。この「576周期性」に微分幾何学的かつ場の理論的な解釈を与えたというのが主結果である。この結果もプレプリントにまとめて、現在投稿中である。さらに、さまざまな対称性のある超対象場の理論を分類するとされる「同変ねじれTMF」に関して、物理学者であるYing-Hsuan Lin氏と数学者である富永章氏との共同研究も開始して、現在進行中である。
研究期間全体を通して、TMFおよびSegal-Stolz-Teichner予想という、ホモトピー論と物理学を結びつける深いトピックの研究に踏み込み、物理学者たちと共同しながらさまざまな研究成果を出すことができた。今後もこれらの研究をさらに発展・深化させていこうと考えている。

研究成果

• [雑誌論文] Differential models for the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT's, I (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita and Kazuya Yonekura
  • 雑誌名: Journal of Gokova Geometry Topology 巻: 16 ページ: 1-64
  • 査読あり
• [雑誌論文] Differential models for the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT's, II (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 雑誌名: Journal of Gokova Geometry Topology 巻: 16 ページ: 65-97
  • 査読あり
• [雑誌論文] Differential KO-theory via gradations and mass terms (2023)
  • 著者名/発表者名: Kiyonori Gomi and Mayuko Yamashita
  • 雑誌名: Advances in Theoretical and Mathematical Physics 巻: 27 ページ: 381-481
  • 査読あり
• [雑誌論文] Spectral convergence in geometric quantization -- the case of non-singular Langrangian fibrations (2023)
  • 著者名/発表者名: Kota Hattori and Mayuko Yamashita
  • 雑誌名: Journal of Symplectic Geometry 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] Topological modular forms and the absence of all heterotic global anomalies (2023)
  • 著者名/発表者名: Yuji Tachikawa and Mayuko Yamashita
  • 雑誌名: Communications in Mathematical Physics 巻: -
  • 査読あり
• [雑誌論文] Mod-two APS index and domain-wall fermion (2022)
  • 著者名/発表者名: Fukaya Hidenori、Furuta Mikio、Matsuki Yoshiyuki、Matsuo Shinichiroh、Onogi Tetsuya、Yamaguchi Satoshi、Yamashita Mayuko
  • 雑誌名: Letters in Mathematical Physics 巻: 112 号: 2 ページ: 1-16
  • DOI: 10.1007/s11005-022-01509-2
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] A Lattice Version of the Atiyah-Singer Index Theorem (2021)
  • 著者名/発表者名: Yamashita Mayuko
  • 雑誌名: Communications in Mathematical Physics 巻: - 号: 1 ページ: 495-520
  • DOI: 10.1007/s00220-021-04021-1
  • 査読あり
• [学会発表] Topological modular forms and heretoric string theory (2024)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Tsinghua-Tokyo workshop on Calabi-Yau
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Topological Modular Forms and supersymmetric quantum field theories (2024)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 日本数学会2024年度年会
  • 招待講演
• [学会発表] Anderson self-duality of topological modular forms and heterotic string theory (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Theoretical studies of topological phases of matter
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Anderson self-duality of topological modular forms and heterotic string theory (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Geometry and Topology
  • 招待講演
• [学会発表] Anderson self-duality of topological modular forms and heterotic string theory (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Topological Moonshine
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Topological modular forms and heterotic string theory (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Operator Algebras and Mathematical Physics (Yasu Festa 60)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Topological modular forms and heterotic string theory (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Categorical Symmetries in Quantum Field Theory (Annual meeting of Simons Collaboration)
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Algebraic Topology and Quantum Field Theory (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: MSJ-KMS joint meeting 2023
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Algebraic topology and QFT (2023)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: RIMS共同研究「作用素環論における群作用と数理物理の関連」
  • 招待講演
• [学会発表] Algebraic topology and physics (2023)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Women at the Intersection of Mathematics and Theoretical Physics Meet in Okinawa
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Differential cohomology and physics (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: BU-Keio-Tsinghua 2022 Workshop
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Category of QFTs and differential cohomology (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Stringmath 2022
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Category of QFTs and differential cohomology (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Operator Algebras: Subfactors, K-theory, Conformal Field Theory
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Algebraic topology and physics (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: RIMS workshop "Women in Mathematics"
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Fully extended invertible non-topological QFTs and differential Anderson duals (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Higher Symmetry and Quantum Field Theory
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Topological Modular Forms and vanishing of heterotic anomaly (2022)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 作用素論・作用素環論研究集会2022,
  • 招待講演
• [学会発表] Topological Modular Forms and vanishing of heterotic anomaly (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: The 7th Japan-China Geometry Conference
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] On the absence of all heterotic global anomalies (2022)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Rikkyo MathPhys 2022
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] トポロジカルとは限らない invertible QFTの分類問題と, Anderson dual の”differentialな”モデル (2021)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 第68回幾何学シンポジウム
  • 招待講演
• [学会発表] 代数トポロジーと場の理論 (2021)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 岡潔女性数学者セミナー
  • 招待講演
• [学会発表] The classification problem of non-topological invertible QFT’s and a differential model for the Anderson duals (2021)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 作用素環論の最近の進展
  • 招待講演
• [学会発表] The differential KO-theory and fermionic mass terms (2021)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: YITP workshop YITP-W-21-11 "Theoretical studies of topological phases of matter"
  • 招待講演
• [学会発表] Differential pushforwards, Anderson duality and invertible QFT's (2021)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: ICTP virtual meeting "Generalized Cohomology and Physics"
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Differential pushforwards, Anderson duality and invertible QFT's (2021)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: Rigorous Statistical Mechanics and Related Topics
  • 招待講演
• [学会発表] トーラス束の変形量子化と格子版Atiyah-Singer指数定理 (2021)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 接触構造、特異点、微分方程式及びその周辺
  • 招待講演
• [学会発表] The classification problem of non-topological invertible QFT's and a "differential" model for the Anderson duals (2021)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: OIST workshop ``Quantum Math, Singularities and Applications”
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] A new construction of deformation quantization for Lagrangian fiber bundles (2020)
  • 著者名/発表者名: Mayuko Yamashita
  • 学会等名: 45th LQP (Local Quantum Physics) workshop
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Lagrange トーラス束のstrictな変形量子化と格子ゲージ理論への応用 (2020)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: ミラー対称性の諸相 2020
  • 招待講演
• [学会発表] トーラス束の変形量子化と格子版Atiyah-Singer指数定理 (2020)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 第67回トポロジーシンポジウム・オンライン
  • 招待講演
• [学会発表] トーラス束の変形量子化と格子版Atiyah-Singer指数定理 (2020)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: 作用素論・作用素環論研究集会2020
  • 招待講演
• [学会発表] トーラス束のstrictな変形量子化と格子ゲージ理論への応用 (2020)
  • 著者名/発表者名: 山下真由子
  • 学会等名: Poisson幾何とその周辺2020
  • 招待講演
• [備考] 個人ホームページ
  • URL: https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~mayuko/index.html