• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 前のページに戻る

新しい幾何学的フローを用いたK-安定でないFano多様体の研究

研究課題

研究課題/領域番号 20K14308
研究種目

若手研究

配分区分基金
審査区分 小区分11020:幾何学関連
研究機関東北大学 (2023)
九州大学 (2020-2022)

研究代表者

高橋 良輔  東北大学, 理学研究科, 助教 (20854706)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2025-03-31
研究課題ステータス 交付 (2023年度)
配分額 *注記
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
キーワードJ-方程式 / dHYM方程式 / ケーラー・アインシュタイン計量 / 幾何学的フロー / GIT安定性 / Fano多様体 / Kahler-Einstein計量 / 放物型PDE / 幾何学的不変式論
研究開始時の研究の概要

本研究ではFano多様体上の逆モンジュ・アンペール流(放物型PDE)と満渕ソリトン(そのソリトン解)を幾何解析および幾何学的不変式論的視点から研究することで,Fano多様体を扱う新しい枠組みを構築する.具体的には次の研究A, Bを行う予定である:
研究A フローに沿った多様体の幾何収束性を調べる.具体的には,極限空間の特異点集合の次元や代数性など.
研究B 満渕ソリトンが存在するためのGIT的な必要十分条件を与える.また応用として,適当な正則不変量による障害の消滅のもとで,Calabiの端的Kahler計量の存在が満渕ソリトンの存在を導くことを示す.

研究実績の概要

deformed Hermitian-Yang-Mills (dHYM)方程式は半平坦Strominger-Yau-Zaslowミラー対称性の文脈においてspecial Lagrangian切断のミラーとして現れる正則直線束上の2階の楕円型PDEであり,近年,数学・物理学の両サイドからの関心が高まっている.dHYM方程式を許容する直線束は複素多様体上の連接層全体のなす導来圏においてBridgelandの意味で安定な対象を定めていると考えられるが,この観点から方程式をより高階のベクトル束に一般化する研究が求められている.今年度は,前々年から引き続き滑らかな射影曲面上の(Mumford-竹本の意味での)半安定束Eに豊富直線束Lの十分大きな冪を掛け合わせて得られるベクトル束を考察した.十分大きい冪に対しては,J-方程式(dHYM方程式をより単純化した方程式)の摂動としてdHYM方程式の解を構成する方法が既に得られていたわけだが,とりわけ,2次元複素射影空間上の,1次Chern類が零であるような階数2の安定束のextensionとして得られる階数3の半安定束Eを調べた.このEはGieseker安定(したがって,半安定)ではあるが,安定でないベクトル束の例としてよく知られている(丸山の例).私はGieseker-Bogomolov不等式などを用いてChern指標の漸近挙動についての考察を行い,実際にこのEが条件を満たしていることを確認した.上記の例を加筆した論文は,既にJournal of Functional Analysisから出版済みである.また,いくつかのセミナーにて研究成果の発表を行なった.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

PDEの解を摂動を用いて構成する方法は基本的には陰関数定理によるものだが,Eのassociated graded objectが複数のstable componentを持つ場合,その証明は極めて複雑な様相を呈する.今回構成した具体例は2次元複素射影空間という基本的な定空間ではあるものの,stable componentが2個の例になっており,今後研究を進める上でも意義があるものと考えている.

今後の研究の推進方策

引き続きJ-方程式,dHYM方程式等のcomplex Hessian方程式の研究を行う予定である.G. ChenによるJ-方程式に対するNakai-Moishezon型の数値判定法の証明は連続法によるものだが,幾何学的フローを用いた証明は未だ知られていない.幾何学的フローに沿った特異点形成をよく調べることで別証明が得られるのではないかと考えている.また,dHYM方程式の場合,nが3以上の自然数だとn次元非射影多様体上では数値判定法が成り立たないような例がJ. Zhangによって構成されていたが,近年,Fang-Maによって平均角がπ/(n-1)より小さければ,数値判定法が依然として成り立つことが示された.これはJ-方程式の場合には見られない特有の現象であり非常に興味深いが,一方で,π/(n-1)がsharpな値かどうかは分かっていないので,今後,J-方程式,dHYM方程式の両者を見比べながらこの値の改良に取り組むという研究方針も考えている.

報告書

(4件)
  • 2023 実施状況報告書
  • 2022 実施状況報告書
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書
  • 研究成果

    (28件)

すべて 2024 2023 2022 2021 2020 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (5件) (うち国際共著 2件、 査読あり 4件) 学会発表 (22件) (うち国際学会 7件、 招待講演 20件)

  • [国際共同研究] Peking University/Chinese University of Hong Kong(中国)

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
  • [雑誌論文] J-equation on holomorphic vector bundles2024

    • 著者名/発表者名
      Takahashi Ryosuke
    • 雑誌名

      Journal of Functional Analysis

      巻: 286 号: 4 ページ: 110265-110265

    • DOI

      10.1016/j.jfa.2023.110265

    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [雑誌論文] The inverse Monge-Ampere flow and applications to Kahler-Einstein metrics2022

    • 著者名/発表者名
      Tristan C. Collins, Tomoyuki Hisamoto and Ryosuke Takahashi
    • 雑誌名

      Journal of Differential Geometry

      巻: 120 号: 1

    • DOI

      10.4310/jdg/1641413788

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian-Yang-Mills equation2022

    • 著者名/発表者名
      Jianchun Chu, Man-Chun Lee and Ryosuke Takahashi
    • 雑誌名

      Journal of Differential Geometry

      巻: -

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Collapsing of the line bundle mean curvature flow on Kahler surfaces2021

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 雑誌名

      Calculus of Variations and Partial Differential Equations

      巻: 60 号: 1

    • DOI

      10.1007/s00526-020-01908-0

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Tan-concavity property for Lagrangian phase operators and applications to the tangent Lagrangian phase flow2020

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 雑誌名

      International Journal of Mathematics

      巻: 31 号: 14 ページ: 2050116-2050116

    • DOI

      10.1142/s0129167x20501165

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] J-equation and deformed Hermitian-Yang-Mills equation on holomorphic vector bundles2023

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      Seminar in Geometric Analysis at CUHK (Online)
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] dHYM方程式について2023

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      専門家向け勉強会「ケーラー多様体上の標準計量とその周辺」
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] deformed Hermitian-Yang-Mills方程式の解の存在問題2023

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      東北大学理学研究科数学専攻談話会
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] supercritical deformed Hermitian-Yang-Mills方程式に対する数値的判定法2023

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      東北大幾何セミナー
    • 関連する報告書
      2023 実施状況報告書
  • [学会発表] 変形ヤン・ミルズ方程式の幾何学的解析2023

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      2022年度大阪公立大学数学研究会論文賞及び特別賞受賞講演
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] 正則ベクトル束上のJ-方程式とdeformed Hermitian-Yang-Mills方程式2023

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      九大幾何学セミナー
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
  • [学会発表] A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian- Yang-Mills equation2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      The 7th Japan-China Geometry Conference
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian- Yang-Mills equation2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      “Differential Geometry and Integrable Systems" The 5th International Workshop Geometry of Submanifolds and Integrable Systems
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] A Nakai-Moishezon type criterion for supercritical deformed Hermitian- Yang-Mills equation2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      The 28th Symposium on Complex Geometry
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] J-equation on holomorphic vector bundles2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      IISc Geometry/Topology Seminar
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] On the modified J-equation2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      Geometric Analysis Seminar at BICMR
    • 関連する報告書
      2022 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] 超臨界deformed Hermitian-Yang-Mills方程式に対するNakai-Moishezon型判定法について2022

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      小研究集会「若手による幾何学研究報告会」
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] J-equation on holomorphic vector bundles2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      Differential Geometry seminar at National Center for Theoretical Sciences and National Taiwan University
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] J-equation on holomorphic vector bundles2022

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      Kahler geometry seminar at SISSA/ICTP
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 超臨界deformed Hermitian-Yang-Mills方程式に対するNakai-Moishezon型判定法について2021

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      福岡大学微分幾何学研究集会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Some geometric flow approaches for deformed Hermitian-Yang-Mills equation2021

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      第22回多変数函数論葉山シンポジウム
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Some geometric flow approaches for deformed Hermitian-Yang-Mills equation2021

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      2021 Pacific Rim Complex & Symplectic Geometry Conference
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Deformed Hermitian-Yang-Mills方程式について2021

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      筑波大学微分幾何学セミナー
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Some geometric flow approaches for deformed Hermitian-Yang-Mills equation2021

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      The 6th Workshop "Complex Geometry and Lie Groups"
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Some geometric flow approaches for deformed Hermitian-Yang-Mills equation2021

    • 著者名/発表者名
      Ryosuke Takahashi
    • 学会等名
      International Workshop on Geometric Evolution Equations and Related Fields
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Deformed Hermitian-Yang-Mills方程式に対する幾何学的フローによるアプローチ(特別講演)2021

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      日本数学会2020年度年会
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] deformed Hermitian Yang-Mills計量の存在問題に対する幾何学的フローによるアプローチ2020

    • 著者名/発表者名
      高橋良輔
    • 学会等名
      九大幾何学セミナー
    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 招待講演

URL: 

公開日: 2020-04-28   更新日: 2024-12-25  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi