研究課題/領域番号 |
20K14330
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研究種目 |
若手研究
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配分区分 | 基金 |
審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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研究機関 | 城西大学 |
研究代表者 |
中村 あかね 城西大学, 理学部, 准教授 (30782130)
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研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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キーワード | パンルヴェ方程式 / 可積分系 / Painleve型方程式 |
研究開始時の研究の概要 |
有限次元の代数的可積分系 (非線型系) に対して、背後にある線型問題を読み取る一般的な枠組みを構築したい。そのために、線型問題、非線型 問題それぞれの側に備わった曲線のファイブレーションの generic な退化に着目する。スペクトラル曲線 (線型) の generic な退化は、線型問題の特異点のタイプに関する情報を備えている。したがっ て、線型側と非線型側の曲線の generic な退化が 一致することが示されれば、非線型側から線型問題を復元できることになる。
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研究実績の概要 |
2022年度の多くは引き続き,Eric Rains氏のPainleve型方程式に関する理論を核としてどのように具体例の理解に落とし込めるかという方面で研究した.Rains氏の理論では,線型常微分方程式や差分方程式のモジュライ問題(微分・差分Painleve型方程式)を考える際に,可換化してHirzebruch曲面とその上の因子の組のブローダウン構造込みでのモジュライ問題(Generalized Hitchin系)を先に考える.次元を固定すると,方程式の分類問題も,曲面上の因子の分解に関する組み合わせ論的な問題に翻訳される.実際にプログラムを組んで計算することで,2次元の場合に,古典的なPainleve方程式の線型問題の分類を再理解することはできたが,次元を上げると組合せ爆発で計算を完遂できなかった. また,以前に取り組んでいた4次元行列Painleve型方程式の対称性について,未解決だった部分を再度整理し直して計算に取り組んだ.方針としては,線型方程式から誘導される対称性として4次元行列Painleve型方程式の対称性を記述・理解するというものである.確定型の線型常微分方程式にはKatzのmiddle convolution, additionおよびSchlesinger変換といった各特異点周辺での特性指数を変える変換がある.これらの変換であって,方程式のスペクトラル型を変えないものが線型方程式の持つ対称性である.変換前後で,変形方程式であるPainleve型方程式の正準変数やパラメータがどのように変化するかを追うことで,Painleve型方程式の対称性が記述できると期待される.
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
健康上の問題があったため.
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今後の研究の推進方策 |
2022年度にできなかった4次元の場合のPainleve型方程式の分類問題は,計算アルゴリズムを見直すことで,計算を完遂させたい.また,4次元の行列Painleve型方程式の対称性に関しては,具体的な記述に成功していない部分(4次元だけに現れるエクストラなA_1^{(1)}対称性)をなんらかの形で記述したい.既に得られた結果とまとめて論文の形にまとめたい.
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