| 研究課題/領域番号 |
20K14334
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 大同大学 |
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研究代表者 |
田中 清喜 大同大学, 教養部, 講師 (00711491)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2022年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2021年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2020年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
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| キーワード | 多調和関数 / 多調和函数 / Toeplitz 作用素 / Hankel 作用素 / 再生核ヒルベルト空間 / ベルグマン空間 / テプリッツ作用素 / フォック空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、再生核ヒルベルト空間の例である多調和関数のなす重み付きベルグマン型空間、フォック型空間およびハーディ型空間を考察する。主に、再生核の挙動、アルマンジ分解と関数空間としての分解の間の対応、上記空間上のテプリッツ作用素、ハンケル作用素等の特徴付けを考察する。その研究を通じて、上記空間を包括的に考える理論を与えることを目指し、再生核ヒルベルト空間における作用素解析をする際の自然な条件を考察する。
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| 研究実績の概要 |
本研究においては，多調和関数のなす再生核ヒルベルト空間を主な研究対象として，再生核ヒルベルト空間の一般論の構築を目指している．2022年度は，2021年度における有界な positive Toeplitz 作用素の特徴づけ問題の改良の続きとして，Toeplitz 作用素の定義域のクラスと値域のクラスの重み，指数を変えて，同様の作用素のコンパクト性の特徴づけ問題を考察した．考察の結果としては，改良した Berezin 変換，平均函数の有界性によって Toeplitz 作用素のコンパクト性の特徴づけを与えることができた．この改良については，Pau-Zhao-Zhu(2016)における正則ベルグマン空間におけるHankel作用素に対する同特徴づけと同じようなふるまいをしている．ただ，平均関数の議論としてCarleson測度との対応を考えるべきであるが，Carleson測度と見た際は素朴かつきれいな特徴づけであるが，平均函数の形で記述した際には，調和関数で見受けられるきれいな性質を持つことは見受けられないため，さらなる解釈が必要なように感じられる．
また，2021年度にも進めていた正則２乗可積分な空間であるベルグマン空間上の有界な little Hankel 作用素の特徴づけ問題についても少しの進展がみられた．Axler '86 による結果の拡張として，定義域と値域を正則可積分の空間とした際の作用素の有界性をシンボルの log Bloch 函数 によって記述することがわかっていた．2022年度には，これらをもとに Bloch type 空間上の有界 little Hankel 作用素の特徴づけの考察を進めた（この話は山路哲史氏（神戸高専）との共同研究である）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
本研究において計画段階当初は多調和ベルグマン空間上の作用素解析をすぐに切り上げるつもりであった．ただ，様々な拡張方針と改良が相次ぎ切り上げるタイミングを見失い，計画の進行に遅れが出ている．
様々な改良もあり，当初予定していたことよりはさらに一般的な状況を考えることはできたが，再生核ヒルベルト空間への寄与としては寄り道になっていたことは否めない．
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| 今後の研究の推進方策 |
現状は多調和ベルグマン空間の解析に力を置きすぎており，当初の計画である他のFock型空間，Hardy型空間についての考察が行き届いていない．
計画に遅れが出ているにもかかわらず多調和ベルグマン空間についてこだわりすぎていたことを変更して，当初の計画通り多調和Hardy型空間についての考察に努めたい．
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