研究課題/領域番号 |
20K14349
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研究種目 |
若手研究
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配分区分 | 基金 |
審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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研究機関 | 東京理科大学 |
研究代表者 |
深谷 法良 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (30849831)
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研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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キーワード | 非線形シュレディンガー方程式 / 非線形シュレディンガー方程式系 / 孤立波解 / 進行波解 / 時間大域解 / 点相互作用 / 定在波解 / 基底状態 / 安定性 / 不安定性 / 微分形非線形シュレディンガー方程式 |
研究開始時の研究の概要 |
非線形シュレディンガー方程式の孤立波解の安定性に関する研究を行う。孤立波解の安定性は物理学的も数学的にも重要な研究対象である。また現象や方程式の解構造の解明のためには漸近安定性や強不安定性といった、より詳細な解の挙動の解析も重要である。スケール不変性を持たない方程式の孤立波解は周波数によって安定性が変化するため、その解析には精密な議論を要する。 本研究では、非線形シュレディンガー方程式の孤立波解の安定性と不安定性を全ての周波数に対して分類する手法の開発及び既存の漸近安定性と強不安定性のための条件の精密化を目指す。
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研究実績の概要 |
本研究の目的は、非線形シュレディンガー方程式の孤立波解の安定性/不安定性を全ての周波数に対して分類する手法を開発すること、そしてその周りの解の大域挙動を解明することである。また孤立波解の構造解析やその形状の性質の解明も行う。 戍亥隆恭氏、林雅行氏との共同研究で2次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式系の進行波解について研究を行った。方程式が質量共鳴条件を満たす場合は定在波解にガリレイ変換を施すことで進行波解を構成できるが、質量共鳴条件を満たさない場合はガリレイ不変性がないため進行波解の存在自体が非自明となる。本研究では変分的手法を用いて進行波解を構成した。特に質量共鳴条件を満たさないとき、定常問題の一方の非線形楕円型方程式がゼロマスに相当する場合にも進行波解が存在することを示した。さらにゼロマスの進行波解を用いて、初期値に大きな振動因子を掛けることで時間大域解が構成できることを示した。本結果はガリレイ不変性の有無が進行波解の構造に影響を与えることを示している。本結果は学術雑誌に掲載済みである。今後は構成した進行波解の一意性・対称性・空間遠方での減衰性・安定性/不安定性を新たな課題として研究を行っていく予定である。 また二重べき型非線形シュレディンガー方程式の定常解の安定性解析および2次元における点相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式の小さい定在波解の漸近安定性の解析も本課題のプロジェクトとして現在進行中である。
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現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初予定していた漸近安定性解析は遅れているが、2重べき型非線形シュレディンガー方程式の定常解の安定性解析については順調に進んでいる。本年度に得られた非線形シュレディンガー方程式系の進行波解については新たな研究の発展が見込める。
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今後の研究の推進方策 |
引き続き二重べき型非線形シュレディンガー方程式の定常解の安定性解析や点相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式の定在波の漸近安定性の問題に取り組む。さらに非線形シュレディンガー方程式系の進行波解の性質を明らかにしていく。
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