| 研究課題/領域番号 |
20K14351
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 釧路工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
若狭 恭平 釧路工業高等専門学校, 創造工学科, 講師 (60783404)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2020年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | 非線形波動方程式 / 解の爆発 / ライフスパン / 非線型波動方程式 / 時間大域解 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
波動方程式は、様々な波動現象を記述する偏微分方程式として知られている。実現象の多くは、非線形偏微分方程式として記述され、数学的には「解の爆発」と呼ばれる、解が時間大域的に存在しない、興味深い現象が起こる。非線形波動方程式に対しては、F.John (1979) による先駆的な結果があり、数多くの結果が生み出されたが、単純な方程式に対する研究がなされているのが現状である。また、実現象に近い方程式はもはや単純な形ではないため、現状の爆発理論の応用が難しいこともある。本研究では、解析学における様々な理論を踏襲し、一般的な状況下での非線形波動方程式に対する、新しい解の爆発理論を構築することが目的である。
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| 研究実績の概要 |
本研究では非線形波動方程式に対して、ポテンシャル項や消散項、あるいは非線形項に様々な因子を含んだ場合の解の爆発解析を行うことが目的である。方程式の非線形項には、未知関数自身やその微分のべき乗のタイプを考察の対象としている。ユークリッド空間における非線形波動方程式の初期値問題に対する一般論の研究は、１９８０年代から現在にかけて精力的に研究がなされており、解の挙動を理解することが着実に進められている。近年では、物理学上重要な計量を、方程式に導入した場合の解析が活発である。具体例としては、ブラックホールの計量に現れる Schwarzschild 計量や Kerr 計量、膨張する宇宙モデルのde Sitter 空間がある。このような問題は、ユークリッド空間上の問題にほぼ帰着できるのだが、消散性やポテンシャル項、非線形項に様々な因子を含んだ方程式と同等になる。したがって、冒頭で述べた設定の下で方程式を解析することは応用上重要であり、その一般論の構築を目的とする非線形波動方程式のそもそもの研究意義をもっている。
当該年度では、昨年度実施した特性方向の重みを非線形項にもつ波動方程式の研究を踏まえ、様々な非線形モデル（非局所的な非線形項など）に対して解析を行った。特に、解のライフスパン（解の最大存在時間）を得ることを主眼において研究を行った。解の爆発が起こる場合、その解の存在時刻がどのくらいかを調査することは重要である。この解析では、解の各点的な挙動を得ることが本質であり、特に、特性方向の情報を引き出すことが重要である。更にそれは、特性方向の積分の可積分性に着目することになり、低次元空間（１次元、２次元）では初速度の平均がゼロかそうでないかによって線形解の挙動が大きく変化するため、非常に興味深い現象が観察できる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
前年度実施した、特性方向の重みをもつ非線形波動方程式の研究は、様々な因子を非線形項にもつ場合の解析で重要な働きをもつ。解の各点挙動が、<t+|x|> と <t-|x|> で表現されているため、これらを一般的な形で非線形項に取り入れることで、様々な非線形方程式の解の挙動をつかむことができる。このことを踏まえ、当初の研究課題のひとつである、ポテンシャル項を備えた問題について、非線形項に影響を与えている非局所的な非線形問題を再度考察した。多項式減衰している初期値については、田中智之氏（同志社大学）との共同研究で最適なライフスパンを導出できたが、コンパクト台をもつ場合については、最適なライフスパンまで到達できていないのが現状である。具体的には、解のライフスパンの上からの導出で問題が発生しており、なぜうまくいっていないのかを再度検証し、研究を行っている。また、具体的な計量や多様体上で方程式を考察する場合も似たような現象が観察されているため、これらの本質的な理解に努めている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、前述の非局所的な非線形項をもつ方程式に対してコンパクト台を持つ場合の解析や様々な計量を導入した方程式などを考察する。解の各点的な挙動をつかむことを主眼におき、ライフスパンの詳細な評価を導出することを目的として、研究を進めていく。
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