| 研究課題/領域番号 |
20K14353
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 成蹊大学 |
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研究代表者 |
八島 高将 成蹊大学, 理工学部, 助教 (50794864)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2022年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2021年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2020年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | グラフ / 2 部グラフ / ハミルトン閉路 / マッチング / 次数条件 / 次数和条件 / グラフ理論 / 極値問題 / 因子 / 木 / 辺彩色 / 虹 / 応用数学 / 離散数学 / 彩色問題 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
グラフとは頂点の集合Vとそれら頂点の対を両端点とする辺の集合Eからなる組G=(V,E)のことをいい，このグラフ上での性質や構造を分析する分野をグラフ理論という．
通常のグラフではTutteの因子定理を中心に因子理論が構築されている．また近年，辺彩色部分グラフに関する研究が増えてきている．本研究課題では，これまでの因子理論と辺彩色問題とを組合せたような辺彩色因子理論をどのように構築できるかという「問い」について研究していく．
通常の因子理論における成果はネットワーク科学などに，辺彩色道や閉路の成果は社会科学や遺伝学などに応用可能である．したがって，本研究は，これらの分野への応用性拡大に期待できる．
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| 研究実績の概要 |
本年度は，通常のグラフにおいて以下の研究成果が得られた．
（１）2 部グラフにおける指定マッチングを通るハミルトン閉路が存在するための非隣接 2 頂点次数和条件：グラフのハミルトン閉路の存在性は，重要な研究課題である．ハミルトン閉路の存在性の一方向の拡張として，指定マッチングを通るハミルトン閉路の存在性に関する問題があり，2 部グラフにおいては，Las Vergnas, Amar, Zemani, West などにより様々な非隣接 2 頂点次数和条件が与えられていた（指定マッチングのサイズにより条件の下界が異なる）．しかしながら，指定マッチングのサイズのある区間においては最善の非隣接 2 頂点次数和条件が与えられていなかった．本研究では，この区間において，最善の非隣接 2 頂点次数和条件を与えることができた．この研究成果は Discrete Math. に掲載された．
（２）2 部グラフにおける指定した偶数頂点を端点とする短い道の集合が存在するための最小次数条件：本研究は，一般グラフ・2 部グラフにおいて指定マッチングを通る閉路の存在性に触発された問題である．グラフがハミルトン道を含んでいれば，明らかに，どのように偶数頂点を指定してもそれらを端点とする道の集合が存在することが分かる．Tsugaki と Yashima は，Moon と Moser によるハミルトン道が存在するための最善の非隣接 2 頂点次数和条件が，2 部グラフが均衡であるかどうかに関わらず，指定した偶数頂点を端点とする短い道の集合の存在をも保証することを示した．本研究では，この成果の最善性を示す例がいずれも次数の低い頂点を含んでいることに着目をし，彼らの次数和条件に対応する最小次数条件を与えた．この研究成果は Australas. J. Combin. に掲載された．
以上が，四年目に得られた成果である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初計画していた Tutte の因子定理の辺彩色版定理に併せて，辺彩色因子の二方向の拡張概念それぞれに関する計算量的な議論の一定の成果をまとめて，現在投稿中である．また，辺着色されたグラフの研究についても国内外の共同研究者たちと研究を継続しており，これらと関連する成果が得られていることから「おおむね順調に進展している」と考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度までに得られた知見をもとに，当初計画していた辺彩色因子のための良い十分条件を引き続き模索し，通常のグラフとの類似性および差異をさらに明らかにしていく．対面での研究打合せ・研究交流を行いづらい状況は今も続いているが，より良い研究方法を探り，当初の計画通りに本研究を推進する予定である．
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