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Max-plus代数における量子ウォークモデルの構築とその応用

研究課題

研究課題/領域番号 20K14367
研究種目

若手研究

配分区分基金
審査区分 小区分12040:応用数学および統計数学関連
研究機関福知山公立大学

研究代表者

渡邉 扇之介  福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)

研究期間 (年度) 2020-04-01 – 2024-03-31
研究課題ステータス 交付 (2021年度)
配分額 *注記
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
キーワードMax-plus代数 / 量子ウォーク / 固有ベクトル / 固有値 / 超離散系 / セルオートマトン / 有向グラフ
研究開始時の研究の概要

本研究は,現在までに構築されてきた量子コンピュータの基礎理論の1つである量子ウォークの理論をmax-plus代数という特殊な代数の上で再構築し,そこで得られた結果がもたらす量子ウォークへの貢献を調べるというものである.Max-plus代数は,超離散化と呼ばれる手法を施すことで得られる代数系で,元の方程式等が持つ“極端な”性質を浮き彫りにすることが経験的に知られている.本研究はこの超離散化によって得られるmax-plus代数を用いて量子ウォークの本質に迫り,量子ウォークとmax-plus代数のどちらとも強い関係性を持つセルオートマトンやグラフ理論への応用を目指す.

研究実績の概要

2020年度の研究成果として,量子ウォークのmax-plus類似であるウォークモデル(max-plusウォークと呼んだ)を構成し,保存量が時間発展行列の固有値の総和となることを示した.この結果を踏まえて,2021年度はmax-plusウォークの極限分布を導出した.具体的には,量子ウォークの極限分布がお椀型になることに対し,max-plusウォークでは単純な直線となることを示した.この直線は量子ウォークにおける極限分布を「均した」ような形となっている.この結果はRIMS Kokyuroku Bessatsuに掲載された.
量子ウォークでは,格子点上の状態ベクトルの時間発展にユニタリー行列が用いられ,例えば各状態ベクトルのノルムの2乗の総和が時間に関する保存量となるという性質はユニタリー性が重要となる.一方で,Max-plus代数においては,このユニタリー性に完全に対応する性質が存在しない.その理由の1つがベクトルの直交の概念を定義することが難しいことにある.また,max-plusウォークの保存量は固有値と対応するため,max-plus代数における固有値問題を考えることは重要となるが,max-plus代数においては最大固有値以外の固有値についての議論は煩雑で,固有多項式の根と固有値との関係についても整理されていない.そこで,2021年度ではmax-plus代数における対称行列の固有ベクトルを調べ,それらの直交性と独立性に関する研究を行った.この研究については現在も進行中である.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本研究は既に1件の掲載済み論文を発表している.ただし,共同研究者との打合せや学会活動への参加が難しく,セルオートマトンとの関連を調べる研究の進捗はやや遅れている.

今後の研究の推進方策

Max-plus代数における直交性の概念を構築し,その視点からmax-plusウォークの解析を再度行う.具体的には,固有ベクトルを求めることで直交性を調べる.さらに,固有ベクトルがモデルに与える特徴や,ある種のユニタリー性と見られる特徴があるのかを調べる.また,セルオートマトンとの関係についての研究も開始する.

報告書

(2件)
  • 2021 実施状況報告書
  • 2020 実施状況報告書

研究成果

(4件)

すべて 2021 2020

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (2件) (うち招待講演 1件)

  • [雑誌論文] Limit theorem of the max-plus walk2021

    • 著者名/発表者名
      Watanabe Sennosuke, Fukuda Akiko, Segawa Etsuo, Sato Iwao
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B87 ページ: 125-133

    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] A walk on max-plus algebra2020

    • 著者名/発表者名
      Watanabe Sennosuke、Fukuda Akiko、Segawa Etsuo、Sato Iwao
    • 雑誌名

      Linear Algebra and its Applications

      巻: 598 ページ: 29-48

    • DOI

      10.1016/j.laa.2020.03.025

    • 関連する報告書
      2020 実施状況報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] 量子ウォークのmax-plus類似と極限定理2021

    • 著者名/発表者名
      渡邉扇之介
    • 学会等名
      スペクトラルグラフ理論および周辺領域 第10回研究集会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書
    • 招待講演
  • [学会発表] Max-plus対称行列の代数的固有ベクトルの直交性2021

    • 著者名/発表者名
      西田優樹,渡邉扇之介,渡邊芳英
    • 学会等名
      日本応用数理学会2021年度年会
    • 関連する報告書
      2021 実施状況報告書

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公開日: 2020-04-28   更新日: 2022-12-28  

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