| 研究課題/領域番号 |
20K14367
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 福知山公立大学 |
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研究代表者 |
渡邉 扇之介 福知山公立大学, 情報学部, 准教授 (80735316)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2020年度)
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| 配分額 *注記 |
4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2022年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2020年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | Max-plus代数 / 量子ウォーク / 固有値 / 超離散系 / セルオートマトン / 有向グラフ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は，現在までに構築されてきた量子コンピュータの基礎理論の1つである量子ウォークの理論をmax-plus代数という特殊な代数の上で再構築し，そこで得られた結果がもたらす量子ウォークへの貢献を調べるというものである．Max-plus代数は，超離散化と呼ばれる手法を施すことで得られる代数系で，元の方程式等が持つ“極端な”性質を浮き彫りにすることが経験的に知られている．本研究はこの超離散化によって得られるmax-plus代数を用いて量子ウォークの本質に迫り，量子ウォークとmax-plus代数のどちらとも強い関係性を持つセルオートマトンやグラフ理論への応用を目指す．
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| 研究実績の概要 |
本研究では，量子ウォークを整数格子状に2次ベクトルが状態として与えられ，2×2のユニタリー行列によって時間発展する離散力学系であると捉え，この系のmax-plus類似の構成に取り組んだ．量子ウォークでは，与えた初期ベクトルから任意の時刻，任意の場所の状態ベクトルを決定する行列（状態決定行列）を明示的に書くことができ，我々はこの状態決定行列のmax-plus類似を導出することで，量子ウォークのmax-plus類似であるウォークモデル（max-plusウォークと呼ぶ）の構成に成功した．
また，任意の時間における各状態のノルムの総和を保存量とする量子ウォークに対して，我々の構成したmax-plusウォークは時間発展を決める行列の固有値の総和が保存量になっていることを示した．この結果については，Linear Algebra and Its Applications誌に掲載された．
また，量子ウォークにおいては，状態のノルムをその状態がその場所に存在する確率であると考えられており，保存量であるノルムの総和は1となり，これが保存するということは確率の総和が1であることと対応しているとされている．これに対してmax-plusウォークでは固有値の総和が0となることを示した．Max-plus代数において0は積の単位元であることに注意すると，max-plus代数においては固有値を確率とみなすことが有意ではないかと考え，max-plusウォークの定常状態と極限分布を導出した．この結果については論文投稿を済ませており，採択が決定している．
さらに，量子ウォークに関する時系列解析やグラフ理論との関係についての文献調査を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究は既に１件の掲載済み論文と１件の採択済み論文で発表しており，研究計画はおおむね順調に進展していると考える．
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| 今後の研究の推進方策 |
量子ウォークにおいては，時間発展を決める行列のフロベニウスノルムの2乗も保存量となることが知られている．一般に行列のフロベニウスノルムの2乗はその行列の特異値の2乗和と等しいため，max-plusウォークが固有値を保存量とすることから，これらの間にある関係を調べる．また，max-plus代数と量子ウォークのそれぞれと密接な関係をもつセルオートマトンを通した解析の検討を始める．
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