| 研究課題/領域番号 |
20K20878
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)
2022年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2021年度: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2020年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
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| キーワード | 一般化された複素構造 / 一般化されたケーラー構造 / カラビ・ヤオ多様体 / ポアソン構造 / 概複素構造 / カラビ・ヤオ予想 / 非可換代数幾何 / 一般化された複素多様体 / 一般化されたケーラー多様体 / スカラー曲率 / カラビ・ヤオ問題 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
一般化された複素構造, 一般化されたケーラー構造は Hitchin, Gualtieri により, 導入された多様体上の幾何構造である. 一般化されたケーラー構造は数理物理における N = (2, 2) 超対称シグマモデルにおけるターゲット空間のもつ幾何構造として認識されており, またノンケーラー幾何学における双エルミート構造と同値な構造であることも示されており, 数理物理, 複素微分幾何の両分野において, ケーラー幾何学の自然な拡張として盛んに研究されている. 申請者は三つの問題 (1), (2), (3) に焦点を合わせて研究をする.
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| 研究実績の概要 |
一般化された複素構造および一般化されたケーラー構造は通常の複素構造, シンプレクティック構 造を特別な場合として含む多様体の幾何構造である. ポアソン 幾何, ノンケーラー幾何(双エル ミート幾何), 非可換代数幾何, 幾何学的偏微分方程式, 実4次元の微分トポロジーなど, 様々な分 野と深く関連しており, この 研究分野の最近の大きな進展が注目されている. 研究代表者の研究により, 一般化されたケーラー多様体の変形安定性定理が確立され, 非自明な一般 化された ケーラー多様体が正則なポアソン構造により豊富に構成されることが示され, この分野 の研究が急速に進展した. 一方, 近年, ケーラー・アインシュタイン幾何 学において, Yau-Tian- Donaldson 予想(YTD 予想)がファノ多様体に関して解決され顕著な発展が起こっている. 今年度においては、一般化されたケーラー多様 体のスカラー曲率の研究をさらに推進し、また一般化された接触構造及び一般化された佐々木構造の研究を進め た。藤木・ドナルドソンによるスカラー曲率を モーメントマップとして捉える「moment map picture」を研究代表者は一般化されたケーラー多様体にも拡張した が、この一般化されたケーラー多様体のスカ ラー曲率を標準束の自明化に依らない形で再定式化を行った。また一般化された接触構造の積分可能条件に関してシ リンダー型とコーン型の2種類あることを明 解にし、これらの研究を行った。これらの成果は2023年4月にStony Brook University, Simons center で開催され た研究集会 Supergravity, Generalized Geometry and Ricci Flow にて発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
理由
今年度は研究成果として、三つの論文が出版されることとなった。
R. Goto, The Kobayashi-Hitchin correspondence of generalized holomorphic vector bundles over generalized Kahler manifolds of symplectic type, IMRN 2022,
R. Goto, Moduli spaces of Einstein-Hermitian generalized connections over generalized Kahler manifolds of symplectic type, Rivista di Matematica della Universia di Parma, 2022,
R. Goto, Matsushima-Lichnerowicz type theorems of Lie algebra of automorphisms of generalized Kahler manifolds of symplectic type, Math. Ann. 2022
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究代表者の研究により、シンプレクティック型の一般化されたケーラー多様体において
ベクトル束に関する Kobayashi-Hitchin 対応は確立した。今後はシンプレクティック型の一般化されたケーラー多様体における Yau-Tian-Donaldson 予想の研究 を進めていく。既に、研究代表者はモーメント・マップの視点からスカラー曲率の概念を確立しており、このことから、一般化されケーラー多様体において、二 木不変量、満渕汎関数の定式化、構成が自然に導かれる。通常のケーラー多様体においては、コホモロジークラスを固定して得られるケーラー計量全体の空間は 可縮となるのであるが、一般化されたケーラー多様体においては、対応する一般化されたケーラー計量全体の空間が”曲がっている”。そのため、この空間が連 結であるか、そして単連結であるかが問題となっている。また、一般化されたケーラー多様体においてドナルドソン・二木不変量の代数的、あるいは位相的記述 も重要な問題となる。
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