| 研究課題/領域番号 |
20K20880
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 立教大学 (2023)
九州大学 (2020-2022) |
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研究代表者 |
阿部 拓郎 立教大学, 理学部, 教授 (50435971)
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| 研究分担者 |
沼田 泰英 北海道大学, 理学研究員, 教授 (00455685)
鍛冶 静雄 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (00509656)
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| 研究期間 (年度) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
6,500千円 (直接経費: 5,000千円、間接経費: 1,500千円)
2022年度: 2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2021年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2020年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
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| キーワード | 超平面配置 / ポアンカレ多項式 / 整数根 / 対数的ベクトル場 / オイラー制限射 / グラフ配置 / 局所化と制限 / 特性多項式 / ベッチ数 / 寺尾の分解定理 / SPOG配置 / 加除定理 / 交差格子 / メビウス関数 / 逆特性多項式 / 逆交差格子 / 特性多項式とその根 / 分解定理 / 制限写像 / 有向グラフ配置 / Shi配置 / Ish配置 / ランダム生成アルゴリズム / 機械学習 / 対数的微分形式 / Ramanujan Machine |
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| 研究開始時の研究の概要 |
超平面配置はベクトル空間中の超平面の有限集合である。その重要な不変量にポアンカレ多項式がある。これは組み合わせ論・位相幾何・代数幾何的な意味を持ち、これらの研究手法が交錯している。この多項式が整数根を持つケースが存在し、代数的に良い配置の場合は寺尾の分解定理からその解釈がある。本研究ではその解釈を広げ、寺尾の分解定理の組み合わせ論や位相幾何的な意味付けを与え、代数・幾何・組み合わせ論を融合する。
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| 研究成果の概要 |
本研究では、超平面配置のポアンカレ多項式の根の意味を問うという根源的な問題に挑戦した。結果として得られた大きな成果は二つある。一つ目は超平面配置が整数根を持つ場合、その局所化や制限配置がどのような整数根を持つかという根の挙動に関する結果である。これらに関する研究は特に局所化周りにおいては存在しなかったが本研究において局所化や制限が整数根を持つ場合それ等にはオリジナルの整数根の情報から制限を受けることが判明した。二つ目は超平面配置の様々な研究におけるモデルケースとなるグラフ配置に関する結果で、グラフの自由性つまり根を保ちながら変形する方法を定式化し、根の理解を深めた。
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
超平面配置とはベクトル空間中の有限個の超平面の集合であり、最も簡単な例は平面に有限本の直線を描いた図形である。これは植木算の高次元化といえ、植木算における区間の数え上げに対応するものが、超平面の交わりの情報いわゆる交差格子とそこから得られる区間の一般化であるポアンカレ多項式である。このポアンカレ多項式が整数根を持つ場合があるが、その意味は自由配置の場合以外謎に包まれていた。本研究ではその根の意味に切り込むことで、超平面配置理論の深い理解を目指し、特に超平面配置を制限したりある点の周りのローカルな情報に集中した場合の挙動、及びグラフから構成される配置の整数根について研究を深めることができた。
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