| 研究課題/領域番号 |
21H04428
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
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| 研究分担者 |
伊藤 哲也 京都大学, 理学研究科, 教授 (00710790)
佐伯 修 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30201510)
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
藤原 耕二 京都大学, 理学研究科, 教授 (60229078)
山下 靖 中央大学, 理工学部, 教授 (70239987)
森下 昌紀 九州大学, 数理学研究院, 教授 (40242515)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
宮澤 康行 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (60263761)
谷山 公規 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (10247207)
正井 秀俊 東京工業大学, 理学院, 助教 (40735734)
大山 淑之 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (80223981)
小林 毅 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00186751)
小島 定吉 早稲田大学, 理工学術院, その他(招聘研究員) (90117705)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-05 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
27,950千円 (直接経費: 21,500千円、間接経費: 6,450千円)
2025年度: 6,110千円 (直接経費: 4,700千円、間接経費: 1,410千円)
2024年度: 5,850千円 (直接経費: 4,500千円、間接経費: 1,350千円)
2023年度: 7,540千円 (直接経費: 5,800千円、間接経費: 1,740千円)
2022年度: 6,760千円 (直接経費: 5,200千円、間接経費: 1,560千円)
2021年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | 結び目 / ３次元多様体 / 不変量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
結び目の体積予想と3次元多様体の体積予想は、量子トポロジーと双曲幾何をむすびつける懸案の重要な予想である。体積予想の発展として、その漸近展開の高次の項に現われる不変量は、3次元双曲多様体の 3d-index という不変量や、Chern-Simons摂動理論の非自明平坦接続からの寄与の不変量と、関連することが期待される。3次元双曲多様体には、豊かな構造をもった多くの不変量があることが期待され、それらの不変量の量子トポロジーを構築することをめざす。それから、各年度に、国際会議「幾何的トポロジーの東アジア会議」と、研究集会「トポロジーシンポジウム」「Intelligence of Low-dimensional Topology」「結び目の数理」を開催する。
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| 研究実績の概要 |
結び目の体積予想と3次元多様体の体積予想は、量子トポロジーと双曲幾何をむすびつける懸案の重要な予想である。体積予想の発展として、その漸近展開の高次の項に現われる不変量は、3次元双曲多様体の 3d-index という不変量や、Chern-Simons摂動理論の非自明平坦接続からの寄与の不変量と、関連することが期待される。従来の量子トポロジーでは、Chern-Simons摂動理論の自明接続からの寄与の不変量が研究されてきて、そこには多くの不変量と豊かな構造があった。Chern-Simons摂動理論の非自明平坦接続からの寄与の不変量にも、そのような豊かな構造をもった量子トポロジーを構築することをめざす。これと関連する3次元双曲多様体の 3d-index について筆者は調べており、これについて論文を執筆し、ジャーナルに投稿中である。また、量子不変量に関する著書の出版を準備中である。
また、国際会議「East Asian Conference on Geometric Topology」と、研究集会「トポロジーシンポジウム」「トポロジー新人セミナー」「Intelligence of Low-dimensional Topology」「結び目の数理」「北陸結び目セミナー」「トポロジーとコンピュータ」「Breadth in low-dimensional topology」を開催した。これらの国際会議と研究集会では、国内外の研究者による活発な研究交流が行われ、十分な成果を挙げた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究代表者の大槻は、研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」を、2022年5月に、京都大学数理解析研究所において、ハイブリッド型で開催した。研究代表者の大槻がその組織委員の一員である国際会議「East Asian Conference on Geometric Topology」について、2023年1月に中国でオンライン開催された。研究協力者の石川昌治氏は、2022年8月に、北見工業大学において、「トポロジーシンポジウム」を開催した。研究協力者の佐藤光樹氏は、2022年8月に、静岡県において、「トポロジー新人セミナー」を開催した。研究分担者の茂手木公彦氏は、2022年12月に、日本大学において、「結び目の数理」を開催した。研究協力者の門上晃久氏は、2022年10月に、金沢市において、「北陸結び目セミナー」を開催した。研究協力者の市原一裕氏は、2022年10月に、広島大学において、「トポロジーとコンピュータ」について、を開催した。研究協力者の市原一裕氏は、2023年3月に、日本大学において、「Breadth in low-dimensional topology」を開催した。
研究代表者の大槻は、研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」を、2023年5月に、京都大学数理解析研究所において、ハイブリッド型で開催した。また、研究代表者の大槻は、国際会議「East Asian Conference on Geometric Topology」を2024年2月に京都大学数理解析研究所において開催した。
筆者は、双曲結び目の補空間のn次巡回被覆空間の 3d-index の係数の値について論文を執筆し、ジャーナルに投稿中である。また、筆者は、量子不変量について著書の出版を準備中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
結び目のKashaev不変量の体積予想と、３次元双曲多様体の量子不変量の体積予想について、研究をすすめる。この予想の数理物理的背景は、SL(2,C) Chern-Simons 理論であり、数理物理的には、量子不変量を与える経路積分に対して、SL(2,C)接続の空間の中で、形式的に鞍点法を適用することにより、体積予想が導出される。体積予想の漸近展開の高次の項の不変量と関連するとおもわれる、3d-index について研究をすすめる。量子不変量に関する著書の出版準備もすすめる。
また、国際会議「East Asian Conference on Geometric Topology」を2024年度に、東京大学において開催する。また、2024年度に、研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」「トポロジーシンポジウム」「トポロジー新人セミナー」「結び目の数理」「東北結び目セミナー」「トポロジーとコンピュータ」「Topology and geometry of low-dimensional manifolds」「多様体のトポロジーの進展」を開催する。
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