| 研究課題/領域番号 |
21H04429
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| 研究種目 |
基盤研究(A)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
中区分11:代数学、幾何学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
並河 良典 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (80228080)
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| 研究分担者 |
望月 拓郎 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (10315971)
吉川 謙一 京都大学, 理学研究科, 教授 (20242810)
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
吉岡 康太 神戸大学, 理学研究科, 教授 (40274047)
森脇 淳 中部大学, 人間力創成教育院, 教授 (70191062)
疋田 辰之 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70793230)
松下 大介 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (90333591)
金城 翼 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (90982778)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-05 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
24,180千円 (直接経費: 18,600千円、間接経費: 5,580千円)
2024年度: 4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2023年度: 4,940千円 (直接経費: 3,800千円、間接経費: 1,140千円)
2022年度: 4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2021年度: 5,200千円 (直接経費: 4,000千円、間接経費: 1,200千円)
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| キーワード | シンプレクティック代数幾何 / 超ケーラー多様体 / モジュライ空間 / シンプレクティック特異点 / ポアソン変形 / 複素シンプレクティック多様体 / 双有理幾何 / べき零軌道 / 小林-ヒッチン対応 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
シンプレクティック型式をもった代数多様体は,数学のいろいろな場面に登場する.K3 曲面上の連接層のモジュライ空間,複素半単純リー環のベキ零多様体,アファイン平面のn-点ヒルベルト概型, 代数曲線上のHiggs 束のモジュライ空間などがその典型例である.これらは,代数幾何のみならず, 幾何学的表現論, 数理物理などでも重要な働きをする. 本研究では,こうした対象を代数幾何,幾何学的表現論,代数解析,微分幾何,数論幾何等の多角的な観点から研究して, シンプレクティック代数幾何とでもよべる分野を構築, 発展させる.
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| 研究実績の概要 |
並河（研究代表者)は, 複素半単純リー環のべき零軌道閉包の普遍被覆のQ-分解的端末化に関する論文の第1部（Birationalgeometry for the covering of a nilpotent orbit closure II)を改訂して出版した.また, 錐的シンプレクティック多様体の分解予想を定式化し,すでに既知であるコンパクトで特異点をもつ場合との比較検討を行った. 研究分担者の実績は以下の通りである.
疋田は,箙多様体に対する楕円バー対合の基本性質に関する予想を証明するために、シンプレクティック商で書ける多様体に対する(abelianな)楕円stable envelopeとOkounkovによるnonabelianな楕円stable envelopeとの可換性を証明した. 望月は, ホッジ構造の変動のL^2コホモロジーに関して,柏原と河合がアナウンスしていた定理を,従順調和束の場合に拡張した上で証明した.さらに可積分混合ツイスターD加群に「rescalability」という条件を導入し,不確定ホッジフィルトレーションの理論の基礎付けを与えた. 尾高は後藤慶太氏との共同研究で,主偏極アーベル多様体の有限商の場合に極大退化のSYZファイブレーションを記述して,その極限の理解を得た. 吉川は, 川口周氏と共同で,Eisenstein K3曲面の解析的捩率不変量を構成し,この不変量が定めるモジュライ空間上の関数が複素超球上の保型形式と固定曲線の非零テータ定数の積のPeterssonノルムとして与えられることを示した.吉岡は,アーベル曲面がピカール一般であるという仮定の下,generalized Kummer多様体の双有理自己同型群を記述した.また８次元の場合に,非自明な自己同型の例を構成した.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
錐的シンプレクティック多様体の分解予想を, 既知である射影的で特異点を持ったCY多様体の分解定理と比較した結果,解決には多くの障害を乗り越えなければいけないことが判明した. 現在,それらの障害を一つ一つ検討している最中である. また, この問題とは別に,懸案であった超トーリック多様体の特徴付けに関しても取り組んだが、まだ一定の成果が得られていない.
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| 今後の研究の推進方策 |
射影的で特異点を持ったCY多様体の分解定理では,従来の微分幾何的手法以外にいくつかの代数幾何的手法が取り入れられている.そのうちの一つは, 実際の分解を与える前に,接層レベルでの分解を与えるという手法である. この部分は,現時点では, 錐的シンプレクティック多様体には適用が難しい. また,錐的シンプレクティック多様体の C^*-同変自己同型群は必ずしも簡約ではない. いったん,錐的超ケーラー計量の存在を仮定して,分解予想に取り組むことを考えている.
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