| 研究課題/領域番号 |
21H04993
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| 研究種目 |
基盤研究(S)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 審査区分 |
大区分B
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| 研究分担者 |
KONTREC Ana 京都大学, 数理解析研究所, 特定助教 (00978489)
西中 崇博 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (20773021)
山内 博 東京女子大学, 現代教養学部, 准教授 (40452213)
藤田 遼 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (40972477)
疋田 辰之 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70793230)
川節 和哉 熊本大学, 大学院先導機構, 准教授 (90853531)
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| 研究期間 (年度) |
2021-07-05 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
157,690千円 (直接経費: 121,300千円、間接経費: 36,390千円)
2024年度: 36,400千円 (直接経費: 28,000千円、間接経費: 8,400千円)
2023年度: 36,660千円 (直接経費: 28,200千円、間接経費: 8,460千円)
2022年度: 36,400千円 (直接経費: 28,000千円、間接経費: 8,400千円)
2021年度: 11,830千円 (直接経費: 9,100千円、間接経費: 2,730千円)
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| キーワード | 頂点作用素代数 / 表現論 / 4D/2D双対性 / W代数 / 4次元の超対称性場の理論 / 4次元の場の理論 / 随伴多様体 / 4 次元の超対称性場の理論 / 群の表現論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
頂点代数は理論物理学における二次元の共形場理論の数学的記述を洗える枠組みとしてBorcherdsにより導入されたある種の代数系である。その起源が二次元の理論であることから、最近まで頂点代数が他の次元の場の理論と関係することは想像されていなかった。ところが近年さまざまなところで、4次元のN=2超対称性を持つ場の量子論と頂点代数との関係を与える4D/2D双対性が発見され、世界的な注目を浴びている。一方、4D/2D双対性に現れる頂点代数は、これまで中心的に研究されてきた頂点代数とは異なる特徴を持つ。本研究課題では、擬平滑頂点代数の表現論の研究を、4D/2D双対性の立場から行う。
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| 研究実績の概要 |
1)荒川と川節はThomas Creutzig氏と共にA1型の場合のウェイト表現の圏の構造を決定し、量子群の表現と関連することを示した。2)荒川はLewis Topley氏とJuan Villarreal)氏との共同研究で、正票数アフィン頂点代数の中心に関する荒川-Wangの予想を解決した。2)荒川は桑原俊郎氏とSven Moller氏との共同研究で、四次元のYang-Mill理論から現れる頂点代数に関するBonetti-Meneghelli-Rastelliによる予想をA型の場合に解決した。 3)荒川はポスドクとして採用したXuanzhong Dai氏およびJusitine Fasquel氏、 Bohan Li氏、 Anne Moreau氏との共同研究により、ランク1の四次元理論から現れる頂点代数の系列の研究を行った。。4) 荒川はVyacheslav Futorny氏及びLibor Krizka氏との共同研究で、Generalized Grothendieck's simultaneous resolutionのカイラリゼーションを用いて、荒川とAnne Moreau氏によるアフィン頂点代数の随伴多様体に関する結果を概念的に拡張した。5) 西中は、Nekrasov 分配関数の計算法が知られていなかった無限個の Argyres-Douglas 理論について、AGT対応を用いた分配関数の計算法を開発した。もっとも簡単な例では Painleve 方程式との対応を正しく再現している。この論文は現在、論文誌に投稿中である。またこれとは別に、4次元N=2理論をS^1コンパクト化して得られる3次元N=4理論に付随する頂点代数を、最近発見された Costello-Gaiotto の方法で調べた。特に4次元理論が Argyres-Douglas 理論の場合には、4次元と3次元で付随する頂点代数が一致しないため、その差異について調べた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
荒川と、Vyacheslav Futorny氏及びLibor Krizka氏との共同研究により、多くのアフィン頂点代数の随伴多様体の研究を特異ベクトルを用いずに研究できるようになった。また、荒川と桑原俊郎氏とSven Moller氏との共同研研究により、四次元のYang-Mill理論から現れる頂点代数に関するBonetti-Meneghelli-Rastelliの予想を解決することに成功し、この結果は世界的に大きな反響を得た。
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| 今後の研究の推進方策 |
荒川は、今年度新たに二名の外国人ポスドク(うち一名は物理学者）を雇用し研究を加速させる。荒川と川節は引き続きCreutzigとの上記共同研究を推し進め、許容レベルのアフィンリー環のウェイト表現の圏の構造を決定する。西中は、まず2023年度に調べた4次元と3次元の頂点代数の差異についての結果を論文にまとめて発表する。またその結果をふまえ、一般に4次元 Argyres-Douglas 理論に付随する頂点代数と、4次元理論を3次元にコンパクト化して得られる理論に付随する頂点代数の関係を解明する。さらに余力があれば、4次元N=3理論の頂点代数を3次元N=6理論の頂点代数から再構成できないか調べ山内は、いくつかの仮定の下でW3代数のフュージョン規則を満たす軸代数の部分的な分類が得られたので，それらを頂点代数のグライス代数として実現する研究を行う。藤田は、引き続きアフィン量子群の表現論、特にR行列の性質について、前射影代数や変形W代数との関係にも着目して研究を進める。疋田は、楕円標準基底とVOSAの関係を定式化するのが当面の目標であったが、トーリックの場合には対応するVOSAがBallin-Creutzig-Dimofte-Niuの結果により3次元N=4ゲージ理論のB-twistに対するboundary VOAと呼ばれるものに含まれることがわかった. その部分代数がどのように特徴付けられるのかを調べることで, より一般の場合に対応するVOSAを見つけたいと考えている. 例えば点のHilbertスキームに対しては対応するboundary VOAは荒川-桑原-Mollerによって構成されており, 特に2点の場合は具体的に記述されているが, その場合には楕円標準基底も正規化の取り方の自由度を除いて計算できており, それと比較することを試みる. Kontrecは引き続きW代数の研究を進める。
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| 評価記号 |
中間評価所見 (区分)
A: 研究領域の設定目的に照らして、期待どおりの進展が認められる
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