| 研究課題/領域番号 |
21J10249
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
井口 大幹 広島大学, 先進理工系科学研究科, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-28 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
2022年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
2021年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
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| キーワード | ３次元多様体 / Heegaard 分解 / 写像類群 / Heegaard分解の空間 / 3次元多様体 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
任意の3次元多様体はHeegaard分解とよばれる分解を許容することが知られている. この分解を保つ3次元多様体の自己同相写像のイソトピー類がなす群はHeegaard分解の写像類群とよばれる. この群が有限群あるいは有限生成群になるための条件を求めることは, この分野における最も基本的で重要な問題である. 本研究では, Heegaard分解の距離とよばれる複雑度を用いてこれらの条件を与えることを目指す.
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| 研究実績の概要 |
昨年度から写像の特異点に関する理論を絡めた手法（Rubinstein-Scharlemann グラフィック）を用いてHeegaard分解の写像類群を調べており、今年度はこの方法を発展させることでHeegaard分解の空間について研究を行った。大雑把には、これはHeegaard分解の写像類群の分類空間と非常に近い空間である。今回新たな試みとしてグラフィックの2-パラメーター族を導入することによりHeegaard分解の空間のホモトピー群の計算を行った。応用として次の結果を得た: 3次元多様体の（Hempel距離の意味で）十分複雑なHeegaard分解が与えられたとき、その1回安定化によって得られるHeegaard分解の写像類群は有限表示群である。一般的に言ってHeegaard分解の写像類群が有限表示群であるかどうかを決定することは難しい問題であるが、上記結果はこの問題を部分的に解決したものであり、満足のゆく結果が得られたと考えている。また、安定化されたHeegaard分解がなす空間の性質はこれまで殆ど知られていなかったが、今回の研究では上記仮定のもとでHeegaard分解の空間のホモトピー型を決定することに成功した。
また3次元多様体内の絡み目の橋分解の写像類群について研究を行った。絡み目の橋分解はHeegaard分解の一般化であり、多くの場合橋分解の写像類群はHeegaard分解の写像類群の“同変版”と見なすこともできる。今回の研究では、有限生成性でない写像類群をもつ橋分解の例を発見したが、そのような例はこれまでに全く知られていなかったため、意外性があり面白い結果が得られたと考えている。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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