幾何学的群論とK3曲面 --- Gromov双曲性による自己同型群へのアプローチ

• 研究課題/領域番号: 21J13227
• 研究種目: 特別研究員奨励費
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 国内
• 審査区分: 小区分11010:代数学関連
• 研究機関: 東京工業大学
• 研究代表者: 高津 大樹 東京工業大学, 理学院, 特別研究員(DC2)
• 研究期間 (年度): 2021-04-28 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 完了 (2022年度)
• 配分額: 1,500千円 (直接経費: 1,500千円); 2022年度: 700千円 (直接経費: 700千円); 2021年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
• キーワード: K3曲面 / 自己同型群

研究開始時の研究の概要

K3曲面の自己同型群の分類問題は、格子理論、鏡映群論、散在型有限単純群論といった様々な分野と結びつきながら発展してきた分野横断的な重要課題である。一方で、これまでは技術的困難さがあり、有限部分群や有限位数の自己同型の分類といった、ある種の有限性のもとでの分類が一般的であった。本研究では、無限群の分類に有効なことで知られる幾何学的群論を応用することで、無限自己同型群の分類理論の構築を目指す。

研究実績の概要

昨年度に引き続き、楕円的K3曲面の自己同型群について、特にその実質的コホモロジー次元（以下、vcd）について調べた。本研究では、幾何学的群論を用いた自己同型群の分類理論の構築やvcdの計算手法の確立を目的としている。昨年度は、楕円的K3曲面、エンリケス曲面、Coble曲面の自己同型群のvcdに関する予想からvcdをピカール数で不等式評価することを試みていた。この不等式は既知であるものの幾何学的群論の応用可能性探索のため調べていた。結果、Mordell-Weil群の階数が2以上となる楕円曲面構造が存在するという条件付きではあるが、幾何学的群論を用いて比較的容易に示すことができ、このことを昨年度の報告書に記載した。しかし、この手法も本質的に既知であるとのご指摘を頂いたため、ここで訂正したい。
本年度は新たに、楕円的K3曲面の自己同型群が幾何学的群論の対象として、どのような枠組みに属しているか、という観点から調べた。幾何学的群論における基本的な対象に双曲群というものがあるが、双曲群は階数２の自由アーベル群を含まないことが知られている。よって、楕円的K3曲面の自己同型群は一般に双曲群にはならない。そのためより広く研究調査をし、幾何学群論や古典的な双曲多様体などの言葉で楕円的K3曲面の自己同型群を捉えたい、という方針を立てた。しかしながら今のところ、vcdを計算する上で有用な枠組みが見つからず、引き続き今後の研究課題として残っている。

現在までの達成度 (段落)

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。

今後の研究の推進方策

令和4年度が最終年度であるため、記入しない。