| 研究課題/領域番号 |
21J13502
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
臺信 直人 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-28 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
1,500千円 (直接経費: 1,500千円)
2022年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
2021年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
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| キーワード | 楕円曲線 / Selmer群 / イデアル類群 / ガロアコホモロジー / 保型形式 / ガロア表現 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
代数体のイデアル類群は有名なFermat予想をはじめとする、整数論において重要とされる様々な問題、現象と関係する対象である。一方、有理数体上の楕円曲線と素数が一つ与えられると、それに対応する代数体が存在する。本研究の目的は、この楕円曲線に付随する代数体の有理数体上のGalois群が非可換な群の場合に、この代数体のイデアル類群のガロアの作用を込めた詳細な構造を調べることである。
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き、楕円曲線のp冪等分体(pは素数)のイデアル類群を研究した。
等分体のイデアル類群をGalois加群として扱うとき、その大きさを下から評価するには適切なガロアコホモロジー群の中の不分岐な類の存在が重要である。適当な条件下で、p-Selmer群をpの惰性群に制限する写像の核は、そのような不分岐な類からなる。従来のPrasad-Shekharの研究などでは、その核を用いて不分岐なコホモロジー類のなす空間を下から評価し、不分岐な類の存在/非存在を考察していた。
本年度行った研究では、楕円曲線上の有理点のなす群の中に、ある局所条件を満足する点のなす部分群を定義し、それを用いて等分体のイデアル類群を下から評価した。上に述べたSelmer群上の制限写像の核に比較して、上記の有理点の群は明示的な考察が容易である。実際、いくつかの場合に上記の有理点の群が非自明になる十分条件を明示的に与えることができた。さらに位数無限大の有理点に対して、その点が上記の群に属する十分条件を、有理点の(p進)形式logによる値を用いて明示的に与える事ができた。その結果、Prasad-Shekharの研究を含む従来の結果の多くを部分的に改善することができた。特に今年度の研究成果は、従来は取り扱いが困難であったTate-Shafarevich群のp部分が自明で、階数が1以下である楕円曲線の等分点のイデアル類群を調べることに応用できる。さらにこの成果は、当初目標としていた楕円曲線の(p進)L関数と等分体のイデアル類群との関係性を調べることにも応用できると考えている。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和4年度が最終年度であるため、記入しない。
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