| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の概要は非定常Navier-Stokes方程式における時刻に依存する動的特異点が除去可能であるための必要十分条件の探求である.動的特異点の研究は放物型方程式,特に半線形熱方程式において飛躍的な進展が見られる.一方で,Stokes方程式やNavier-Stokes方程式と言った圧力項を伴った方程式については明らかになっていない部分が多い.本研究では,特にNavier-Stokes方程式において動的特異点が生じる状況を明らかにし,他の方程式へアプローチする橋渡しを行う.
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| 研究実績の概要 |
有界領域 Ω×(0,T)におけるn次元(n>=3)非定常Stokes方程式について, 動的特異点が除去可能であるための十分条件を求め, 動的特異点の時間変数に対するヘルダー連続性αの仮定と解の時空間変数に対する特異性の仮定の関係を明らかにした論文が海外ジャーナルに掲載された。また, 非定常Navier-Stokes方程式に対する動的特異点が除去可能であるための十分条件を求めて, 同様に動的特異点の滑らかさと解の特異性の仮定, 更には非線形項により生じる影響との関係を明らかにした論文を現在海外ジャーナルに投稿中である。そして, 上記の結果と2次元及び3次元非定常Navier-Stokes方程式に対して実際に動的特異点やより高次元の動的特異集合を持つ解を構成した結果をまとめ博士論文を執筆した。
また, 昨年度から引き続き行っていた非定常Navier-Stokes方程式における動的特異点が除去可能であるための必要条件を求める研究の過程で, 非定常Stokes方程式の動的特異点の除去可能性についてある種の最良性が得られた。具体的には, R^n×(0,∞)において動的特異点のヘルダー連続性がα>=1/2であっても動的特異点の近傍において, ラプラス方程式の基本解 |x|^(2-n)と同程度の特異性を持つ解が存在する事が分かった。一方で, 非定常Navier-Stokes方程式については同様の結果は得られなかった。
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