| 研究課題/領域番号 |
21K03152
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 (2022-2023)
室蘭工業大学 (2021) |
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研究代表者 |
桂田 英典 北海道大学, 理学研究院, 研究院研究員 (80133792)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
2022年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2021年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | Harder予想 / Selmer群 / ガロア表現 / Bloch-Kato予想 / Gross-Keating invariant / Klingen-Eisenstein級数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
Harder予想は保型形式の合同に関する重要で興味深い予想の１つである。Bloch-Kato予想も
数論幾何において重要な予想の１つである。これらを古典的保型形式論、保型表現論、ガロア表現論の技術を総結集して解決を目指す。
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| 研究実績の概要 |
以下の共同研究において共同研究者の敬称は省略する．
あるp 進Siegel 保型形式が真のSiegel 保型形式になることを示した論文を発刊した.(長岡昇勇との共同研究）Harder 予想をある場合に証明した．その第１部について論文を発刊した．この論文は2024年度日本数学会JMSJ論文賞に選ばれた．第２部も投稿中. (跡部発，千田雅隆，伊吹山知義，山内卓也との共同研究）この結果を日本数学会北海道支部会で発表した．また，kが奇数の時にも予想を再定式化しある場合に証明した(Chul-hee Leeとの共同研究) また，Bergstrom-Faber-Van-der-Geer 予想をある場合に考察した．局所体上の2 次形式に付随するSiegel series の明示公式(T. Ikeda, H.Katsurada, J. reine. angew, Math. 783 (2022), 1-47)を用いてDuke-Imamoglu-Ikeda lift のフーリエ係数の良い評価を得た．これについて論文を発刊した．また，以前に構築したGross-Keating invariantの理論を有限体上の２次形式論により再構築を行った．これは発刊予定.（池田保との共同研究）また，２次形式のGross-Keating invariantのinduction formula を求めた．（S. Cho, 池田保，C-H. Lee,．山内卓也．との共同研究）これも発刊予定.１変数保型形式のE7 型例外群へのリフトのtwisted Koecher-Maass級数の明示公式を求めた論文を発刊した．また，例外群E7上あるp 進Siegel 保型形式が真の保型形式になることを示した．これは発刊予定(Henry H. Kim との共同研究.) さらに，IKeda-Miyawaki liftの周期に関する池田の予想をある場合に厳密に証明した(伊吹山知義，小嶋久祉との共同研究.)
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Harder予想については大体望み通りの結果を得た．特に，kが偶数，jが4の倍数のときに証明し，２つのうちの論文の1つが発刊されもう１編を投稿できたことは予定通りとはいえ満足の行く結果である．kが偶数，j-2が4の倍数のときに方針はある程度たっているが，前年度からの懸案が解決されておらず，これは残念なことである．この方針ではさらに新たな仮定を付け加える必要があるかどうか検討中である．しかしながら，この場合新たな定式化ができそうでそちらの進展も期待できる．また，kが奇数の時も同様の定式化ができ，いくつかの場合に証明できたことは望外のことである．この際，IKeda-Miyawaki liftの周期に関する池田の予想のある場合の証明に用いた微分作用素が非常に有効であったことは予想外のことであった．また，本件研究に関連して2次形式，Hermite形式のGross-Keating不変量の理論に新たな進展があった．
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| 今後の研究の推進方策 |
kが偶数，j-2が4の倍数のときには前年度からの懸案が解決されるように試みる．この際,ガロア表現に関するさらに深い考察が必要となるため，その方面に関する専門家と議論を進めたい．その他ではkが奇数の時もさらに研究を進めたい．その際，Bloch-Kato Selmer群に関する様々予想も関連付けて考察する．Bergstrom-Faber-van der Geer予想についてはその弱い形のものを我々がHaredr予想で行ったような再定式化を考えてある場合に証明してみたい．Hermite形式のGross-Keating不変量の理論を利用してHermite形式のSigel級数の明示公式を求めたい．
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