| 研究課題/領域番号 |
21K03153
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 中央大学 (2022-2023)
東北大学 (2021) |
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研究代表者 |
山崎 隆雄 中央大学, 理工学部, 教授 (00312794)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 数論幾何 / モチーフ / 代数学 / 代数幾何学 / 整数論 / モジュラー曲線 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
モジュラー曲線から生じる１モチーフについて数論的な性質を研究する．特に１モチーフのねじれ有理点や最大μタイプ部分群について研究することで，メーザーの古典的な結果を拡張することも目標とする．μタイプ部分群については，モジュラー曲線の不分岐アーベル被覆を調べることと言い換えるられる．そのような被覆にしばしば現れる非合同部分群によるモジュラー曲線も研究の対象である．
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| 研究実績の概要 |
1) 有限次元単純Lie環に対し，そのワイル群がある多変数の有理関数体に作用する． これはクラスター代数の理論を用いて井上玲氏により構成された作用で，1の冪根における量子アフィン代数のq-指標に関係する．この作用に関する固定部分体を決定することは基本的な問題である．井上玲氏と共同研究でこの問題について解答を与え，専門誌Algebras and Representation Theoryより論文が出版された．なお，量子パラメーターが1の冪根でない場合の対応する問題は，我々の結果がプレプリントとして公開されたのち， Frenkel-Hernandezにより解決がなされた．
2) 佐藤周友氏との共同研究で，対角線の分解を許容する曲面に対し不分岐コホモロジーが正規双有理モチーフ的不変量としての普遍性を持つことを明らかにした．この結果を用いて，Bruno Kahn氏により提出されていたEnriques曲面のChow群に関する問題を解決することができた．また，副産物として，整Hodge予想への反例を与える四次元多様体を構成することもできた．結果は論文にまとめ，投稿中である．
3) 大坪紀之氏との共同で，古典的なGauss和・Jacobi和をモチーフの視点から研究した．Hasse-Davenportの積公式など，Gauss和やJacobi和について古典的に知られている関係式を，モチーフの間の同型として幾何的にとらえることに成功した．また，正標数ではGauss和・Jacobi和のモチーフ的な類似物によりFrobenius写像を記述できることを明らかにした．これはColemanが曲線の場合に示していた結果の高次元化にあたる．この結果も論文にまとめ，投稿中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
モチーフ理論に関連した分野で，不分岐コホモロジーやGauss和・Jacobi和のように新たな方向性を持った研究を開拓し，一定の成果を得ることもできた．モジュラー曲線の数論についてはまとまった成果には至らなかったが，Yifan Yang氏との共同研究が進行中である．以上これらから進捗状況はおおむね順調であると判断できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまで進捗が遅れてきたモジュラー曲線に関するテーマを中心に研究活動を進める．これは国立台湾大学のYifan Yang氏を含む複数名の共同研究として進めているため，そのメンバーとの研究交流を加速させる．
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