| 研究課題/領域番号 |
21K03155
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
小寺 諒介 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (20634512)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2021年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | アファインヤンギアン / W代数 / 表現論 / 可積分系 / 余積 / 放物誘導 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
表現論は，代数系の加群の構造を調べる学問である．表現の研究は，数学的対象の持つ対称性を捉えその性質を明らかにすることなので，表現論の結果や手法は幅広い応用を持つ．
W代数は2次元共形場理論の対称性を記述するために導入された代数系で，可積分系の理論においても重要である．本研究では，W代数の表現論および関連する可積分系について，背後にある量子群（アファインヤンギアン）を通じて理解を深め，新しい知見を得ることを目標とする．
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| 研究実績の概要 |
前年度までの研究で，アファインヤンギアンから長方形型の冪零元に付随するW代数への代数射を構成した．一般の冪零元に付随するW代数の場合に成果を得ることを目標に，次の(1)-(3)の観点から研究を行った．
(1)有限W代数に対するBrundan-Kleshchevの理論の整備：始めに述べた研究目標は，Brundan-Kleshchevがシフトヤンギアンと有限W代数について行った研究のアファイン版である．近年シフトヤンギアンの研究が進展しているので，現在の観点からBrundan-Kleshchevの理論を見直して整備することを試みた．極小冪零元に付随する場合は，シフトヤンギアンの余積とevaluation写像を組み合わせてBrundan-Kleshchevの結果を解釈できることがわかった．また，同じく極小冪零元に付随する場合に具体的な表現を計算し，その構造を調べた．
(2)極小冪零元に付随するW代数：極小冪零元に付随するW代数の生成元を記述した．生成元の間の関係式を部分的に計算し，シフトアファインヤンギアンの関係式と比較した．論文として公表できる成果はまだ挙がっていないが，二つの代数の類似性を確認することができた．
(3)これまでの研究成果の周知：2021年度に出版された論文の結果について，研究集会「組合せ論的表現論における最近の展開」で講演した．対面での講演は2019年以来である．講演の内容は前年度までに得た結果ではあったが，これまで十分に周知できていなかった．関連する研究者とこの結果について議論し，今後の研究についての知見を得ることができる有意義な機会となった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
シフトヤンギアンと有限W代数についてのBrundan-Kleshchevの理論は，一般の場合を扱うとかなり複雑だが，極小冪零元の場合に限ると様々な部分が簡単になる．研究実績の概要(1)で述べたことは新しい結果とは言えないが，極小冪零元の場合に具体的な計算をすることで，ある程度状況を把握することができた．
(2)は，極小冪零元に付随するW代数とシフトアファインヤンギアンの関係を明らかにするために必要なステップの一つである．
以上を総合して，研究はおおむね順調に進展している．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，極小冪零元に付随するW代数に対してシフトアファインヤンギアンとの関係を明らかにする．その際，対応する有限W代数との類似点に着目して研究を進める．
長方形型の冪零元の場合は，すでにW代数とアファインヤンギアンの対応を得ているので，その結果を双方の表現論に応用し，テンソル積表現の研究を進める．また，関連する可積分系との具体的な関係を明らかにする．
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